Một kỉ niệm kép: 100 năm xuất bản “Treatise on Probability” của John Maynard Keynes và “Risk, Uncertainty and Profit” của Frank Knight + Về việc công bố, năm 1921, tác phẩm “A Treatise on Probability” của John Maynard Keynes

Một kỉ niệm kép: 100 năm xuất bản “Treatise on Probability” của John Maynard Keynes và “Risk, Uncertainty and Profit” của Frank Knight + Về việc công bố, năm 1921, tác phẩm “A Treatise on Probability” của John Maynard Keynes

(Nguồn: http://www.phantichkinhte123.com/)

Arthur Charpentier^[1]

Cách đây đúng một trăm năm, hai tác phẩm quan trọng cố găng nối kết kinh tế học, rủi ro và phép tính xác suất được xuất bản. Và nếu hiếm khi có dịp trầm mình vào những văn bản xưa, kể cả đối với đại đa số nam nữ sinh viên, thật là thú vị khi ghi nhận là hai tác phẩm này có nhiều suy nghĩ soi sáng bằng một đôi mắt (gần như) mới các lĩnh vực mà đôi khi chúng ta có cảm tưởng đã biết tất cả, từ thưở ấy…

Cambridge, Keynes và xác suất

John M. Keynes (1883-1946)

Hãy bắt đầu với Treatise on Probability, tác phẩm đầu tiên của một trong những nhà kinh tế lớn nhất trong thế kỉ XX, minh chứng cho tầm quan trọng của toán học trong hình thức luận kinh tế – John Maynard Keynes từng công bố nhiều bài viết kinh tế khoảng mười năm trước khi tiểu luận này được xuất bản. Và điều ngạc nhiên là các nhà kinh tế thường bỏ quên tác phẩm này^[2].

Nhưng hãy bắt đầu từ khởi điểm… John Maynard Keynes sinh tại Cambridge tháng sáu 1883, bố ông (John Neville Keynes) là giáo sư logic và kinh tế học tại Đại học Cambridge và mẹ ông (Florence Ada Brown) sẽ là thị trưởng thành phố này vào năm 1932^[3]. Vào đầu thế kỉ XX (trong thực tế là từ 1880 đến 1940, như MacLeod & Urquiola (2020) đã cho thấy) có lẽ Cambridge là đại học uy tín nhất thế giới. Năm 1903, Bertrand Russel công bố tại đây tác phẩm Principles of Mathematics (mà tựa của bản dịch tiếng Pháp – Écrits de logique philosophique – có lẽ phản ánh nội dung cuốn sách tốt hơn cái tựa của nguyên tác). Vả lại, tác phẩm của John Maynard Keynes cũng nằm trong chiều hướng này vì mặc dù hiển nhiên nó theo một hình thức luận toán học, nhưng tiểu luận này trước hết có lẽ là một tác phẩm triết học và luận lí học. Đây cũng là thời kì mà nhà toán học Srinivasa Ramanujan, khách mới của bang Tamil Nadu (Ấn Độ), có mặt trong khuôn viên đại học Cambridge, theo lời kể trong The Man Who Knew Infinity của Robert Kanigel, người mô tả Cambridge trong những năm 1910. Tại đây John Maynard Keynes cũng giao du với nhiều nghệ sĩ (với tư cách là thành viên của nhóm Bloomsbury) như Virginia Woolf hay E. M. Forster.

Alfred Marshall (1842-1924)

Frank Ramsey (1903-1930)

Năm 1905, khi vừa đỗ Master of Arts về toán, ông theo học Alfred Marshall, người giúp ông khám phá kinh tế chính trị học, và đến năm 1908 (sau hai năm công tác ở Bombay tại Văn phòng những vấn đề Ấn Độ), ông viết luận án về xác suất. Đây không phải chính thức là một luận án tiến sĩ^[4], mà là một “Fellowship Dissertation” nhằm trở thành Fellow [thành viên giảng dạy] của King’s College. Bản thảo luận văn gần như xong thì thế chiến thứ nhất bùng nổ khiến cho việc công bố bị đình hoãn. Sau thế chiến, ông làm việc tiếp trên bản thảo này hai năm nữa để cuối cùng xuất bản vào năm 1921 dưới tựa là A Treatise on Probability. Điều trùng khớp là năm 1921 cũng là năm mà Frank Ramsey đến Cambridge (ông cũng sẽ trở thành Fellow của King’s College vào năm 1924 trước khi qua đời năm 1930 ở tuổi 26), người mà sự gần gũi về mặt trí thức với John Maynard Keynes là quan trọng, cho dù họ có nhiều sự bất đồng, đặc biệt là về khái niệm xác suất. Cuối cùng 1921 cũng là thời điểm 8 năm trước khi sự tiên đề hoá xác suất được Kolmogorow công bố, người sẽ đặt xác suất trong lí thuyết độ đo, và đề xuất khuôn khổ hình thức vẫn còn được giảng dạy ngày nay.

Để hiểu định hướng định hướng Keynes theo đuổi trong tác phẩm của ông, cần nhớ đến những mối quan hệ giữa xác suất và logic. Vào thời đó, tại Cambridge, William Ernest Johnson đang viết cuốn Logic, mà ba tập^[5] sẽ được xuất bản vào các năm 1921, 1922 và 1924. Harold Jeffreys, mà chúng ta mắc nợ nhiều công trình thống kê bayesian, cũng ở Cambridge thời gian này, cũng như Dorothy Wrinch, người đã công bố On Some Aspects of the Theory of Probability năm 1919. Mặc dù nghiên cứu thời bấy giờ là sôi động nhưng R. B. Braithwaite, người chủ trì việc tái bản tác phẩm của Keynes năm 1972, ghi nhận là hiếm có những tác phẩm qui chiếu bằng tiếng Anh về chủ đề này, công trình kiểu này đã được John Venn (người để lại cho hậu thế các biểu đồ nổi tiếng) công bố hơn 50 năm trước với tác phẩm Logic of Chance. Và nếu Harold Jeffreys đã đề xuất một tiên đề hoá xác suất vững chắc hơn chương 2 khiêm tốn trong cuốn Treatise thì đến năm 1939 sách của ông mới xuất bản.

Đối với Keynes, một “xác suất” không phải là một sự kiện khách quan, như hàm ý của cách kiến giải tần số luận. Đối với ông, xác suất trước hết là một vấn đề logic, lượng hoá một mức độ xác thực, hay một tin tưởng duy lí, của/vào một mệnh đề.

Một cách hình thức,

“Xét các mệnh đề của chúng ta gồm bất kì tập mệnh đề h nào, và các kết luận của chúng ta gồm bất kì tập mệnh đề a nào, nếu sự hiểu biết về h biện minh cho một tin tưởng duy lí vào a với một mức độ a, thì chúng ta nói rằng có một quan hệ xác suất với mức độ a giữa a và h.”

Xác suất thể hiện mức độ tin tưởng hợp lí mà ta có đối với một tập những mệnh đề a, dưới ánh sáng của một tập những mệnh đề h. Do đó, trong độ đo này, có thể gọi xác suất là chủ quan, vì đây là một sự tin tưởng. Nhưng trong nghĩa mà Keynes gán cho nó, xác suất không có tính chủ quan vì nó không bị sự thất thường của con người chi phối: đó là một quan hệ logic giữa hai mệnh đề (hay hai tập mệnh đề) hiện ra trong tâm trí các cá nhân. Đó không phải là một quan hệ giữa một tuyên bố và một thực tế, “xác suất bắt đầu và kết thúc với xác suất”. Trong cuốn sách của Keynes, có thể kí hiệu xác suất bằng “a/h”. Hiểu biết một tình thế trong đó “a/h = 1” là một điều chắc chắn. Một tình thế mà “a/h = 0” là một điều bất khả. Trong đa số các trường hợp, quan hệ nằm giữa 0 và 1. Và, trong đa số các trường hợp, các con số chỉ có ý nghĩa bản số. Qua đó, Keynes muốn nói là thường không thể so sánh về mặt định lượng hai xác suất và khẳng định, ví dụ, rằng cơ may một biến cố xảy ra là x lần lớn hơn cơ may xảy ra một biến cố khác. Hơn nữa, có thể là không thể so sánh hai xác suất: “không phải bao giờ cũng có thể nói rằng mức độ tin tưởng duy lí của chúng ta vào một kết luận bằng, lớn hơn hay nhỏ hơn mức độ tin tưởng duy lí của chúng ta vào một kết luận khác”^[9]. Và ta có thể nghĩ rằng, trong thực tế, các xác suất là không định lượng được và là vô ước, nhất là khi chúng bị ràng buộc bởi những giới hạn của lí tính con người. Ngay cả khi có thể đo được các xác xuất cá thể bằng con số, chúng ta cũng không có thể đi xa hơn nhiều trong lập luận toán học. Vả lại, trong việc nhận định xác suất, khó mà loại bỏ trực giác và sự đánh giá trực tiếp. Khó khăn này giới hạn tầm quan trọng của những xác suất tần số luận dựa trên luật số lớn. Ngay cả trong lĩnh vực khoa học tự nhiên, trực giác và phép loại suy giữ một vai trò quan trọng hơn việc thao tác các tần suất thống kê.

Francis Y. Edgeworth (1845-1926)

Nicolas de Condorcet (1743-1794)

Thật ra, đối với Keynes, hầu hết những nhà tư tưởng lớn về xác suất, như Condorcet, Bernouilli, Bentham, Laplace hay Edgeworth đều sai lầm khi nghĩ rằng có thể áp dụng những nguyên lí bắt nguồn từ việc khả năng xảy ra bằng nhau vào các khoa học đạo đức, và như thế có thể lượng hoá, đo đạc, hình thức hoá về mặt toán học thực tế xã hội. Keynes nhắc lại rằng một số những nhà tư tưởng lớn này đã phiêu lưu vào lĩnh vực đạo đức, dẫn đến việc tin là những mức độ nhân từ có thể đo được bằng con số, và đôi khi là cộng tính, trong lúc lĩnh vực thuộc về sự đánh giá trực giác. Keynes tố cáo trò “bịp bợm toán học” (mathematical charlatanry) làm cho thống kê lí thuyết mất thời gian và được một sự tin tưởng hoàn toàn vào suy luận thống kê hỗ trợ. Trong kinh tế học, sai lầm này được ảo tưởng cho rằng sự lượng hoá các ý niệm như lợi ích có thể được lượng hoá, đo đạc và cộng trừ nhau. Sai lầm này dẫn đến việc lạm dụng số liệu thống kê, mà với tư cách là phương tiện để mô tả một cách định lượng hiện thực, đã biến thành một công cụ tiên đoán. Sau này, Keynes tiếp tục theo đuổi suy nghĩ này, đặc biệt với những yếu tố suy tưởng về xác suất trong chương 12 của cuốn Lí thuyết tổng quát của ông. Chính trong tác phẩm cuối này mà ta tìm thấy chú thích ở cuối trang được trích dẫn rất nhiều, khi ông khẳng định là “vô cùng không chắc chắn” và “rất không có khả năng xảy ra” đối với ông là tương đương, hàm ý rằng xác suất có thể là thích hợp để mô hình hoá những tình thế không chắc chắn (gần đây Brady (2019) dành một một bài viết cho chú thích 1 nổi tiếng trang 148 này). Để theo dõi cuộc bàn luận sâu hơn về nội dung Treatise, tham khảo bài của Christian Robert.

Quay trở lại với lịch sử cuốn Treatise, như đã đề cập trong giới thiệu trên đây, nhiều nhà kinh tế không biết đến tác phẩm này, ít nhất cho đến những năm 1970, năm mươi năm sau khi nó được xuất bản. Khi toàn tập các công trình của Keynes được tái bản, người ta quyết định công bố tác phẩm này không theo thứ tự thời gian như đối với bảy chuyên luận trước đó mà như tập thứ tám. Vào đầu những năm 1980, các công trình của Sidelsky, rồi tiếp đó của Bradley Bateman, Anna Carabelli hay Michael O’Donnell sẽ khai trương một tập những công trình nghiên cứu các quan hệ giữa triết học và kinh tế học của Keynes cũng như tính liên tục của quan niệm triết học của ông. Có thể ghi nhận suy nghĩ sau đây của Peter Waley (1991):

“Nỗ lực chính đầu tiên để xây dựng một lí thuyết xác suất không chính xác là của Keynes (1931). Mục đích của Keynes là phát triển một logic quy nạp, dựa trên việc kiến giải xác suất như một “mức độ tin tưởng duy lí” […] Kể từ Keynes, một kinh văn dồi dào đã lớn mạnh liên quan đến các xác suất không chính xác, có tính nhận thức luận.”

Nhưng sẽ là không trung thực khi quên đi phê phán của Ramsey trong Truth and Probability (xuất bản năm 1931, sau khi ông mất, nhưng dựa trên tham luận năm 1936). Đối với tác giả này, phép tính xác suất cốt xác lập một tập những quy tắc cho phép các mức độ tin tưởng hình thành một hệ thống chặt chẽ. Những quan hệ xác suất, như được Keynes mô tả, không tồn tại. Ta tìm thấy những tra vấn về xác suất, sự không chắc chắn và các tin tưởng trong một tác phẩm thứ hai, cũng được xuất bản năm 1921, nhưng trong một bối cảnh khác.

Chicago, Knight và sự bất trắc

Frank Knight (1885-1972)

Tác phẩm thứ hai mà ta kỉ niệm một trăm năm xuất bản, Risk, Uncertainty and Profit của Frank Knight được xuất bản bên kia bờ Đại tây dương, độc lập với những gì xảy ra ở Anh. Năm 1871, Chicago bị một hoả hoạn lớn tàn phá và việc xây dựng lại thành phố được tiến hành nhờ trường phái Chicago, nơi thu hút những kiến trúc sư lớn nhất, từ năm 1890 đến năm 1910, với William Le Baron Jenney, Henri Hobson Richardson, hay Frank Lyoyd Wright, người ở Chicago trong phần lớn thời gian này. Dân số lên đến cả triệu người và Chicago trở thành một thành phố quan trọng về mặt nghệ thuật, cho dù người ta chỉ nhớ nó từng là thành phố của tội ác có tổ chức, ví dụ với Al Capone. Và nếu câu chuyện của chúng ta không bắt đầu ở Chicago thì chính trong thành phố này mà Frank Knight đã tự khẳng định khi lãnh đạo, cùng với Jacob Viner, khoa kinh tế học từ năm 1920 đến năm 1950. Cho dù chính Milton Friedman là người làm cho trường phái Chicago nổi tiếng, song chính Frank Knight, như Van Overveldt (2007) nhắc nhở, qua sự giảng dạy của ông đã để lại dấu ấn trên thế hệ thành danh sau thế chiến.

Trong những năm 1890, và trong khoảng mười lăm năm, các nhà kinh tế Mĩ cố gắng giải quyết vấn đề công bằng xã hội trong việc phân chia và phân phối của cải. Có thể kể bài viết của Frederick Hawley, The Risk of Profit trong vô số bài đăng trên tạp chí Quarterly Journal of Economics, ấn hành ở Harvard, trên đó các nhà kinh tế trao đổi với nhau suốt nhiều năm. Đối với Frederick Hawley, gánh chịu rủi ro là một thành tố không thể né tránh của động thái sản xuất và những ai chấp nhận rủi ro phải có quyền được phần thưởng, được biết dưới tên gọi “lợi nhuận”. Theo Frederick Hawley, lợi nhuận là cái giá xã hội phải trả để đảm nhận rủi ro. Đặc biệt, ông ghi nhận là phí rủi ro này phải tương ứng với một sự bù đắp cao hơn giá trị bảo hiểm, tức là một tiền thưởng cho một rủi ro tính toán được. Nói cách khác, lợi nhuận ra đời từ một rủi ro không bảo hiểm được và tên gọi “residual theory of profit” phản ánh đúng việc xem lợi nhuận như một số dư. Tiếp sau bài viết này là một cuộc tranh luận kéo dài với John Bates Clark, cho đến bài viết của Francis Edgeworth năm 1904 cung cấp một tổng hợp chủ đề này.

John B. Clark (1847-1938)

Một khi đã đặt bối cảnh xong, hãy quay lại một chút với Frank Knight. Ông ra đời ở bang Illinois tháng 11 năm 1885. Là con trai trưởng trong một gia đình chủ trang trại, những ràng buộc của đời sống trang trại khiến ông bỏ sang một bên trong một thời gian việc học. Ông rời gia đình khi đã hơn 20 tuổi để bắt đầu học ở một trường truyền giáo ở bang Tennessee, rồi đỗ Bachelor of Science về khoa học tự nhiên và thạc sĩ tiếng Đức vài năm sau đó. Ông chuyển tiếp đến Đại học Cornell để nghiên cứu kinh tế học (bộ môn ông khám phá kể từ năm 1913) và bảo vệ luận án tiến sĩ có tựa là A Theory of Business Profit. Luận án được giải nhì trong thể loại tổng quát của cuộc thi tuyển các tiểu luận kinh tế Hart, Schaffner & Marx vào năm 1916. Lúc bấy giờ ở Cornell có Alynn Abbott Young trước khi sang dạy ở Harvard, rồi tiếp đó ở London School of Economics. Young là chủ tịch hội đồng giám khảo luận án tiến sĩ của Frank Knight và đã đề nghị Knight ở lại Cornell nghiên cứu hậu tiến sĩ cho đến khi ông chuyển đi Harvard năm 1917. Về phần mình, Frank Knight sẽ đến với John Bates Clark ở Đại học Chicago, tại đây ông tiếp tục làm việc trên bản thảo luận án và sẽ được xuất bản với tựa là Risk, Uncertainty and Profit, theo tường thuật của Emmet (2020) – người tiến hành so sánh rất dài về những thay đổi từ bản thảo luận án đến tác phẩm được xuất bản. Những người giám sát Knight – John Bates Clark và Alynn Abbott – chứng nhận với nhà xuất bản là đã không có nhiều thay đổi, nhưng cũng như đối với John Maynard Keynes, những năm tháng để cho tư tưởng chín muồi đã cho phép làm rõ một số khái niệm.

Điểm xuất phát của cuốn sách của Frank Knight là các công trình của John Clark, đặc biệt là tác phẩm Distribution of Wealth xuất bản năm 1899:

“Công trình của giáo sư Clark được dùng làm cơ sở và điểm xuất phát cho nghiên cứu này. Một số phê phán đối với công trình trên tỏ ra là cần thiết, dẫn đến sự bất đồng trên một vài điểm khá thiết yếu, nhưng bản thân công trình của chúng tôi phù hợp với mục đích và nhiều kết luận trong công trình của giáo sư”.

Suốt cuốn sách, Knight ghi nhận những khiếm khuyết của các cách tiếp cận của Hawley và Clark, ví dụ khi nhận xét rằng nếu các tác nhân kinh tế biết được các phân phối xác suất thì họ đều phải hành xử theo cùng một cách. Cho dù Clark đã đề xuất ý niệm “giá trị bảo hiểm chủ quan” thì ý tưởng trung tâm của thời kì đó là tất cả các tác nhân hoàn toàn biết được các xác suất (và do đó giá trị bảo hiểm):

“Chính sự bất trắc “thật sự”, chứ không phải là rủi ro, cấu thành một lí thuyết lợi nhuận có cơ sở và có tính đến sự khác biệt giữa cạnh tranh trong thực tế và cạnh tranh trên lí thuyết”.

John Kay (1948-)

Đương nhiên ý tưởng đầu tiên của Frank Knight là ý niệm bất trắc. Cuốn sách mới đây của John Kay và Mervyn King, Radical Uncertainty: Decision-Making Beyond the Numbers, ý tưởng trung tâm này của tác phẩm của Knight. Ý tưởng thứ hai là lí thuyết giá cả, và chính xác hơn là lí thuyết cạnh tranh hoàn hảo. Theo Knight, sự khác biệt quan trọng nhất giữa lí thuyết giá cả cổ điển và cạnh tranh không hoàn hảo là sự có mặt trong cạnh tranh không hoàn hảo của bất trắc, một bất trắc nổi lên từ sự thay đổi động, và do đó là không thể đoán trước. Chính tính không thể tiên đoán động này tạo nên những điều kiện kinh tế cho hành động kinh doanh. Cách tiếp cận này đòi hỏi một đánh giá, một năng lực con người vốn không cần thiết trong cạnh tranh hoàn hảo, một tình huống mà tất cả là tính toán được và đã được tính toán vì tất cả đều “tiên đoán được”. Bất trắc đòi hỏi một đánh giá, không chỉ về các trạng thái của thế giới, mà còn cả về khả năng đánh giá của các tác nhân khác trong những tình thế không chắc chắn. Như vậy, Frank Knight là người đầu tiên phân biệt giữa các vấn đề ra quyết định khi những xác suất là biết được hay không biết được, một điều buộc phải làm rõ (như Keynes cũng cố gắng làm) ý niệm xác suất.

Trong Risk, Uncertainty and Profit, Knight phân biệt ba loại xác suất khác nhau được ông gọi là “xác suất tiên nghiệm”, “xác suất thống kê” và “ước lượng”. Loại thứ nhất nằm trên cùng một bình diện logic như các mệnh đề toán học, ví dụ kinh điển là xác suất kết quả khi tung một con xúc xắc (tính đối xứng của một khối lập phương cho phép khẳng định là có 1/6 cơ may để kết quả là một trong 6 mặt của khối). Trong những thử nghiệm liên tiếp, “xác suất thống kê” phụ thuộc vào ước lượng tần suất. Trong ngôn ngữ bayesian đương đại, trường hợp đầu ta gặp lại phân phối xác suất tiên nghiệm trong lúc trong trường hợp thứ hai ta gặp lại phân phối xác suất hậu nghiệm. Trong trường hợp thứ ba, không thể tiến hành phân tích thống kê với dữ liệu sẵn có khi không thể tiến hành những thử nghiệm liên tiếp. Trường hợp cuối này được Knight quan tâm nhất, với tư cách là nhà kinh tế cố gắng tìm hiểu và mô hình hoá thế giới kinh doanh và bản chất của lợi nhuận trong bối cảnh này. Knight đã nhận diện sự nhầm lẫn vấn đề “ước lượng theo trực giác” với vấn đề “logic của xác suất”.

Lionel Robbins (1898-1984)

Ronald Fisher (1890-1962)

Cuốn sách đã không gặt hái thành công, chỉ có hai bài viết trước năm 1930 đề cập đến nó. Nhưng vào năm 1933, Lionel Robbins đã tác động London School of Economics (LSE) in lại nó cho sinh viên của trường có thể tiếp cận. Và bốn mươi năm sau, American Economic Association trao cho Knight huy chương Walker, giải thưởng mỗi năm năm để tôn vinh một nhà kinh tế Mĩ có đóng góp lớn nhất cho kinh tế học trong suốt sự nghiệp của mình.

Hai cuốn sách trên đã để lại dấu ấn trong lịch sử kinh tế học và lí thuyết ra quyết định khi đặt ra những vấn đề triết học thiết yếu về bất trắc, rủi ro và xác suất. Hai tác phẩm này đã ảnh hưởng đến những nhà tư tưởng lớn nhất của thế kỉ XX, bắt đầu, tất nhiên theo thứ tự, là các nhà triết học ở Cambridge và các nhà kinh tế thuộc trường phái Chicago. Và nếu một trăm năm sau tác phẩm của Frank Knight vẫn còn được trích dẫn, báo trước, ví dụ, các con “thiên nga đen” được Popper quảng bá, buộc phải ghi nhận là dường như vẫn còn những nhà kinh tế không biết đến tác phẩm của Keynes, và cả những nhà thống kê, có lẽ vì vào năm 1922 Ronald Fisher công bố cuốn On the mathematical foundations of theoretical statistics, tác phẩm nổi tiếng đặt nền tảng cho cả thống kê học của thế kỉ XX!

* * *

VỀ VIỆC CÔNG BỐ, NĂM 1921, TÁC PHẨM “A TREATISE ON PROBABILITY” CỦA JOHN MAYNARD KEYNES

Jean Paul Guichard^[6]

LTS Variances: Trả lời bài viết gần đây của Arthur Charpentier “Một kỉ niệm kép: 100 năm xuất bản Treatise on Probability của John Maynard Keynes và Risk, Uncertainty and Profit của Frank Knight (http://variances.eu/?p=6028)”, Jean-Paul Guichard, giáo sư danh dự Đại học Côte d’Azur gởi cho chúng tôi trong bài viết dưới đây một phân tích rất phê phán tác phẩm của Keynes mà chúng tôi vui lòng chia sẻ với bạn đọc.

Bertrand Russell (1872-1970)

Công trình này, mà tác giả nói là mang nợ nhiều đối với G. E. Moore và B. Russell^[7], có tham vọng trở thành một tác phẩm đổi mới, mở rộng ý niệm xác suất. Ông phê phán ý niệm “cổ điển”, mà theo ông là quá hạn hẹp, và đề xuất một lí thuyết “logical-relationist”.

Ông phân biệt những tin tưởng duy lí với những tin tưởng không duy lí, những điều “có khả năng xảy ra” nhưng không có thật, những xác suất “có số” hay đo được với những xác suất không thể đo được và thậm chí không so sánh với nhau được, ông đề xuất mở rộng ý niệm xác suất: có những “mức độ tin tưởng”, những “quan hệ logic” mà ta có thể gán những “xác suất”.

Sách có gần 500 trang thư mục đồ sộ mà, nhờ bảng chỉ mục ta nhận thấy là sách chỉ sử dụng một phần nhỏ tài liệu tham khảo. Sách có tham vọng bao quát toàn diện khiến điều gây ngạc nhiên là văn bản thẳng thừng bỏ qua nhiều tên tuổi lớn trong lĩnh vực xác suất.

Blaise Pascal (1623-1662)

Pierre de Fermat (1601-1665)

Những sự lãng quên rất lạ lùng, đặc biệt lên quan đến Blaise Pascal chỉ được nhắc đến một lần và một cách thứ yếu^[8], còn Pierre de Fermat hoàn toàn không được nhắc đến! Thế mà ta biết là Laplace và Poisson đều chỉ có quy chiếu về hai tác giả lớn này thôi, còn Leibniz bổ sung thêm người thứ ba là Huyghens. Thư từ trao đổi giữa Blaise Pascal và Pierre de Fermat về “bài toán chia phần” [tiền cược] là sự khởi đầu của lí thuyết xác suất hiện đại.

Nhiều tác giả khác cũng bị bỏ quên: đặc biệt là Jérôme Cardan, Pierre-Raymond de Montmort, Abraham de Moivre, Auguste Louis Cauchy, Irénée-Jules Bienaymé, Henri-Léon Lebesgue, Alexandre Liapounov, Paul Lévy… Những “lãng quên” này không phải là vô hại; ngoại trừ trường hợp A. de Moivre, một nhà toán học Pháp lưu vong viết bằng tiếng Anh, đây đều là những tác giả sử dụng tiếng Pháp vào một thời kì, từ thế kỉ 17 đến đầu thế kỉ 20, mà toán học bị những tác giả Pháp hay viết tiếng Pháp thống trị. Rõ ràng là, đối với những tác giả nước ngoài, Keynes chuộng những ai dùng tiếng Đức, một ngôn ngữ mà ông biết rõ hơn tiếng Pháp.

Ta có thể tự hỏi lí do vì sao ông thiết lập, hay nhờ ai làm vì ông rất bận, một thư mục rộng đến thế mà chính ông công nhận đã không đọc hết, và ta có thể đế vào là còn lâu mới được như vậy! Phải chăng là để loè bạn đọc, thuyết phục người đọc, ngay cả trước khi bắt đầu đọc, rằng đây là một cuốn sách nghiêm túc và có chất lượng? Emile Borel cũng tự đặt nhiều câu hỏi về điểm này.

Gần một nửa cuốn sách được tác giả đánh giá là “cơ bản”, các phần 1 (Ý tưởng cơ bản) và 2 (Các định lý cơ bản). Trong chương 3 có tựa là Thước đo các xác suất, trước tiên ông mô tả một vài ví dụ lí thú rồi được ông lí thuyết hoá một cách khá tối nghĩa, yếu tố chủ yếu là không thể so sánh các xác suất với nhau: “Khi nói rằng không thể ít nhiều so sánh các xác suất, tôi nói rằng không phải lúc nào cũng có thể nói được là mức độ tin tưởng duy lí của chúng ta vào một kết luận là bằng, nhỏ hơn hay lớn hơn mức độ tin tưởng duy lí của chúng ta vào một kết luận khác”.

Trong trích dẫn trên, một từ là đặc biệt quan trọng, đó là tin tưởng. Tác giả sẽ quay trở lại, trong các bài viết của ông, và một cách chính đáng, ý niệm này. Tuy nhiên, trong những trang tiếp theo ta tìm thấy những lập luận khá tối nghĩa thậm chí là nhàm chán, dẫn đến một biểu đồ được Keynes rất coi trọng vì đã đưa nó lên trang bìa cuốn sách, một biểu đồ mà tác giả những dòng này vẫn hoàn toàn không hiểu.

Tuy nhiên, lời bình có cánh được Bertrand Russel công bố năm 1921 là một tụng ca cuốn sách: “không nghi ngờ gì từ rất lâu đến nay đây là một công trình quan trọng về xác suất được xuất bản (…) Cuốn sách, trong tổng thể, là một tác phẩm mà ta chỉ có thể khen ngợi”^[10]. Một lời bình còn đáng ngạc nhiên hơn nữa khi tác giả được xem là “nhà toán học” đã đọc lại bản thảo mà không phát hiện những yếu kém hiển nhiên về mặt toán học.

Henri Poincaré (1854-1912)

Joseph Bertrand (1822-1900)

Trong chương 4, Keynes phê phán nguyên tắc “xác suất giống nhau”, tức là gán cùng một xác suất “khi không có lí do đặc biệt nào để gán những xác suất khác nhau cho những đối chọn khác nhau”. Theo ông điều này dẫn đến (trang 32) những kết quả nghịch lí và “ngay cả những kết luận mâu thuẫn nhau”. Bởi thế ông phê phán những ai tối thiểu là ít nhiều không nhất quán, theo quan điểm của ông. Do không gợn một tí nghi ngờ gì năng lực của bản thân, ông tấn công một vài nhà toán học lớn nhất thời bấy giờ: Joseph Bertrand, Henri Poincaré, Emile Borel^[11].

Để làm chỗ dựa cho phê phán của ông đối với nguyên tắc dẫn đến điều ông cho là một mâu thuẫn, ông hình dung hai biến ngẫu nhiên^[12]: một biến x và một biến f(x) theo một phép biến đổi từ biến đầu bằng một hàm f liên tục và đơn điệu. Ông ngầm giả định luật của x là đều trên khoảng (a,b) tại mọi điểm mà mật độ xác suất là 1/(b-a). Ông phát biểu đúng đắn là đoạn (c,d) nằm trong (a,b) có xác suất (d-c)/(b-a). Ông cũng đúng đắn cho rằng xác suất này bằng với xác suất mang bởi đoạn ánh xạ của (c,d) bằng phép biến đổi f: (f(c),f(d)) khi f là một hàm tăng. Nhưng phép tính mà ông thao tác dẫn ông đến một biểu thức khá khác với xác suất được chờ đợi: (f(d) – f(c))/(f(b) – f(a)). Đối với ông, kết quả này là không còn nghi ngờ gì nữa: nguyên tắc “xác suất giống nhau” đưa đến một sự mâu thuẫn, đây là bằng chứng để bác bỏ nó. Tiếc thay cho Keynes, hiểu biết của ông về phép tính xác xuất là giới hạn, ông không làm chủ bộ môn này: kết quả tính toán của ông là quá sai^[13]. Biểu thức Keynes tìm ra chỉ có thể đúng trong một trường hợp rất đặc biệt khi đạo hàm của f là một hằng số, do đó khi f là một hàm tuyến tính của x; trong những trường hợp khác, biểu thức ấy là sai.

Tiếc rằng đây không phải là điểm yếu duy nhất của cuốn sách: tác phẩm này đầy rẫy những trình bày sai hay không được biện minh. Bàn về Poincaré ở trang 49, ông nói đến một xác suất f(x)dx: điều này có nghĩa rằng hàm f là một mật độ xác suất; nhưng, vài dòng sau ông viết: “If, as I maintain, the probability f(x) is not…”; trong trường hợp này có sự nhầm lẫn giữa xác suất và mật độ xác suất; điều này biểu lộ một sự khó khăn trong việc phân biệt tính rời rạc và tính liên tục.

Daniel Bernouilli (1700-1782)

P. S. Laplace (1749-1827)

Xa hơn, ở trang 370, nhân vấn đề chọn trong một cái bình những quả cầu có hai màu, và quy chiếu về những công trình của Bernouilli và Laplace, ông lẫn lộn giữa tỉ lệ p những quả cầu có một màu nhất định (mà ông gọi là “xác suất tiên nghiệm” trong khi đây không phải là một xác suất^[14]) với tỉ lệ P những quả cầu có màu này sau một số lần chọn (có hoàn lại, điều mà ông không nói rõ) và tỉ lệ này mới là một biến ngẫu nhiên; tiếp đó ông biên những công thức toán “từ trên trời rơi xuống” mà không màng định nghĩa tất cả các tham số; đây là một trang xứng đáng với bác sĩ Diaforius^[15], và đó không phải là trang độc nhất!

Ở trang 379, về những biến cố có thể dẫn đến thành công hay thất bại, ông định nghĩa một biến ngẫu nhiên X^[16] như là tỉ lệ thành công: do đó đây là một biến rời rạc; nhưng không có bất kì giải thích nào, ông chuyển từ cái rời rạc sang cái ngẫu nhiên khi định nghĩa một xác suất P(x<X<x+dx) và mặt khác, cũng không có bất kì sự biện minh nào, ông viết rằng mật độ xác suất của biến X này là mật độ của một luật “bêta”. Còn có thể nhân bội các ví dụ, nhưng việc ấy là không cần thiết: trên phương diện toán học, cuốn sách chả có giá trị nào. Thay vào đó công của nó nằm ở những vấn đề mà nó nêu lên, thường là một cách không rõ ràng, đặc biệt là với những gì liên quan đến các “xác suất chủ quan”; để bảo vệ ông, cũng có thể ghi nhận là vào thời điểm cuốn sách này được xuất bản, “lí thuyết ước lượng” phân biệt rõ ràng một xác suất với ước lượng của nó, hay một đại lượng chắc chắn nhưng chưa biết và ước lượng của đại lượng này, vẫn còn ở thời kì phôi thai.

Emile Borel (1871-1956)

Không ngạc nhiên là vào năm 1924, Emile Borel đã công bố trên một tạp chí triết học một bài điểm cuốn sách của Keynes có tựa là “Về một tiểu luận xác suất”^[17]: “Đây là một cuốn sách rườm rà với một cái tựa (…) báo hiệu một cách nửa vời chủ đề (…). Điều ông ấy quan tâm là khía cạnh triết học và logic, chứ không phải khía cạnh khoa học của các vấn đề”. Đây là một mào đầu nếu không phải là có cảm tình thì ít ra cũng là “ôn hoà”; xa hơn một chút, Borel tuyên bố là “Keynes tìm cách hiểu điều đối với chúng ta là khó hiểu” (trang 323), rằng không cần thiết tạo thêm khó khăn bằng cách “thay thế ngôn ngữ thông thường bằng một tượng hình bí hiểm” (trang 324) và cuối cùng giáng một câu “đôi khi những suy tưởng với một giọng đơn giản và khiêm tốn chứa đựng sự thật không kém gì việc tích luỹ những công thức bề ngoài lừa lọc”.

Sau đó ít lâu, một nhà toán học trẻ vô cùng xuất sắc, Frank Ramsey^[18], năm 1925 trình bày bài viết “Chân lý và luận lí học”, liên quan đến tác phẩm của Keynes, trước câu lạc bộ các khoa học đạo đức ở Cambridge. Skidelsky ghi nhận là “sau khoảng một giờ của một sự tiêu huỷ đẹp mắt, nhiều phần của kiến trúc hoa mỹ của tiểu luận [của Keynes] không còn đứng vững nổi”^[19].

Bruno de Finetti (1906-1985)

Robert Skidelsky (1939-)

Còn các nhà kinh tế thì sao? Ít người trong số họ có khả năng hay ý thích đọc tác phẩm, tuy nhiên những ai mạo hiểm vào đó không thể không biết đến những phê phán có tính đả kích của vài nhà toán học bõ công đọc một cuốn sách được xác nhận là không có ích đối với họ. Đó là trường hợp của một tác giả người Italia, Bruno de Finetti, một nhà thống kê có thẩm quyền, chuyên gia về bảo hiểm và tài chính. Thật vậy, trong một bài viết năm 1938, La logico dell’ incerto, ông nói đến “phê phán xuất sắc” của Borel vừa nhấn mạnh là nhà toán học rộng lượng và không chấp nhất này, tuyên bố là tuy có những khuyến tật song tiểu luận này có những nhận định đáng suy ngẫm^[20]; tiếp đó, Finetti thích thú làm rõ bản chất và tầm quan trọng của những đóng góp nào của Keynes cần giữ lại.

Điều này gần với quan điểm của Fausto Vicarelli^[21], một nhà kinh tế người Italia khác, khi tác giả này nói đến việc mở rộng chân trời của khái niệm xác suất cho các nhà kinh tế (và ta có thể thêm cho những ai quan tâm đến những vấn đề ra quyết định trong tương lai không chắc chắn) bằng cách không chỉ đặt cơ sở độc nhất trên các tần số, mà còn trên những dự kiến (có lấy những nhận định duy lí hay không làm nền tảng) của các tác nhân kinh tế và cho những ai ra quyết định đặt cơ sở trên sự cần thiết phải lập luận với những quan hệ logic giữa những hiểu biết trực tiếp hay gián tiếp của mình^[22].

Luận chứng được Vicarelli nhấn mạnh mà Keynes lấy từ tiểu luận về xác suất của ông để đưa vào phần đầu tác phẩm Lí thuyết tổng quát: “Do đó, giữa hai tập mệnh đề có một quan hệ mà nhờ đó nếu ta biết tập đầu thì ta có thể gán cho tập sau một mức độ tin tưởng duy lí. Quan hệ này là đối tượng của luận lí học những khả thể”^[23]. Ở đây ta có thể nhận xét là kiểu nhận định này là nền tảng của thời vận.

Có 15 năm khoảng cách giữa A Treaty on Probability và General Theory. Keynes đã có thời gian để có nhiều cuộc trao đổi với người bạn Frank của mình, để tư biện và để đảm đương những trách nhiệm quan trọng trong lĩnh vực tài chính; một số những trực giác của ông về xác suất sẽ có mặt trong tác phẩm chủ yếu nhất của mình, đặc biệt là chương 12, có lẽ là chương quan trọng nhất.

Nguyễn Đôn Phước dịch

Nguồn: “À propos de la publication, en 1921, de “A Treatise on Probability” de John Manard Keynes”, Variances, 20.9.2021

Phân phối Tweedie (Tweedie distribution)

Phân phối Tweedie (Tweedie distribution)

(Nguồn: https://en.wikipedia.org)

Phân phối Tweedie là gì?

Trong xác suất và thống kê, họ phân bố Tweedie là họ các phân bố xác suất bao gồm: các phân bố chuẩn và gamma liên tục, phân bố Poisson rời rạc; và phân bố Poisson-gamma hỗn hợp. Đối với bất kỳ biến ngẫu nhiên Y nào tuân thủ phân bố Tweedie, phương sai var (Y) liên hệ với kỳ vọng E (Y) theo luật mũ:

trong đó a và p là hằng số dương.

Các phân phối Tweedie được đặt tên bởi Bent Jørgensen theo tên của Maurice Tweedie – một nhà vật lý trị liệu và y học tại Đại học Liverpool, Vương quốc Anh – người đã đưa ra nghiên cứu kỹ lưỡng đầu tiên về các phân bố này vào năm 1984.

Một số họ phân phối Tweedie:

• Phân phối chuẩn, p = 0,
• Phân phối Poisson, p = 1,
• Phân phối hỗn hợp Poisson–gamma, 1 < p < 2,
• Phân phối gamma, p = 2,
• Phân phối ổn định dương, 2 < p < 3,
• Phân phối Gaussian nghịch đảo , p = 3,
• Phân phối ổn định dương, p > 3,
• Phân phối ổn định cực trị, p = ∞.

Với 0 < p < 1 không tồn tại phân phối Tweedie.

Tài liệu hướng dẫn thực hành phân phối Tweedie trên R:

• Package: tweedie ; HDtweedie ; poistweedie
• cplm : Compound Poisson Linear Models

Ghi chú. Các họ phân phối xác suất: Circular ; compound Poisson ; elliptical ; exponential ; natural exponential ; location–scale ; maximum entropy ; mixture ; Pearson ; Tweedie ; wrapped

———————–&&&———————

Người mở đường ngành xác suất hiện đại

Người mở đường ngành xác suất hiện đại

(Nguồn: http://tiasang.com.vn)

Nếu hai nhà thống kê lạc mất nhau trong một khu rừng vô hạn, trước tiên họ sẽ uống cho say. Khi đó, có thể nói là họ sẽ đi một cách ngẫu nhiên và việc này sẽ mang lại cơ hội tốt nhất để họ gặp lại nhau. Tuy nhiên, các nhà thống kê nên tỉnh táo nếu họ muốn đi hái nấm. Say rượu đi lung tung không mục đích sẽ thu hẹp phạm vi khám phá, và khả năng cao là họ sẽ quay trở lại vị trí cũ, nơi nấm đã bị hái hết rồi.

Những cách tư duy như vậy thuộc về các lý thuyết thống kê về “bước đi ngẫu nhiên” hay “bước đi của người say”, trong đó tương lai chỉ phụ thuộc vào hiện tại chứ không phải quá khứ. Ngày nay, bước đi ngẫu nhiên được sử dụng để mô hình hóa các hiện tượng như xu hướng giá cổ phiếu, khuếch tán phân tử, hoạt động thần kinh, biến động dân số, v.v. Người ta cho rằng cũng có thể sử dụng nó để mô tả “xu hướng di truyền” của một gene cụ thể – ví dụ như màu mắt xanh – trở nên phổ biến trong một nhóm dân cư. Một cách trớ trêu, lý thuyết với đặc trưng bỏ qua quá khứ này lại có một bề dày lịch sử khá phong phú. Nó là một trong nhiều đột phá tri thức được xây dựng bởi Andrei Kolmogorov, một nhà toán học với hiểu biết sâu rộng và khả năng đáng kinh ngạc, người đã cách mạng hóa vai trò của tính không dự đoán được trong toán học, trong khi bản thân ông vẫn cẩn trọng ứng đối với những biến động của đời sống chính trị và hàn lâm ở nước Nga Xô viết.

Khi còn trẻ, Kolmogorov đã được nuôi dưỡng bởi không khí tri thức sôi động của Moskva hậu cách mạng, tràn ngập các thử nghiệm văn chương, những xu hướng tiên phong trong nghệ thuật, và các ý tưởng khoa học mới mẻ. Ở những năm đầu thập niên 1920, khi là một sinh viên lịch sử ở tuổi 17, ông đã trình bày một bài báo trước các bạn học tại Đại học Moskva, đưa ra một phân tích thống kê khác thường về đời sống của người Nga thời Trung cổ, trong đó cho thấy thuế khóa đánh trên cả làng thường là số nguyên, trong khi thuế trên từng hộ dân lại được biểu diễn bởi một phân số. Bài báo kết luận – đầy tranh cãi vào thời điểm đó – rằng thuế trước đây được thu theo làng và phân bổ đến từng hộ, thay vì thu theo từng hộ rồi gộp tổng lại cho cả làng. Thầy của ông đã nhận xét gay gắt rằng “cậu chỉ mới tìm thấy một bằng chứng mà thôi, như vậy là không đủ với một nhà sử học. Cậu cần ít nhất năm bằng chứng.” Lúc đó, Kolmogorov đã quyết định chuyển sang nghiên cứu toán học, nơi chỉ một chứng minh là đủ.

Điều hợp lý một cách kỳ lạ là một sự kiện ngẫu nhiên như vậy đã dẫn dắt Kolmogorov vào lãnh địa của lý thuyết xác suất, khi đó chỉ là một nhánh nhỏ bị xem thường của toán học. Các xã hội tiền hiện đại thường nhìn nhận các sự kiện ngẫu nhiên như một biểu thị cho ý chí của thần thánh; ở Ai Cập và Hy Lạp Cổ đại, việc tung súc sắc được nhìn nhận là một công cụ cho việc tiên tri hay bói toán. Cho đến đầu thế kỷ 19, các nhà toán học châu Âu đã phát triển các kỹ thuật để tính toán các tỉ lệ cược, và định nghĩa xác suất như là tỉ lệ của số những trường hợp muốn có trên số tất cả các trường hợp đồng xác suất. Nhưng cách tiếp cận này lại vướng vào lập luận vòng quanh – xác suất được định nghĩa theo số các khả năng đồng xác suất – và chỉ có hiệu lực với những hệ có hữu hạn khả năng. Nó không thích hợp với những đại lượng vô hạn đếm được (như trò chơi với súc sắc có vô hạn mặt) hay không đếm được (như trò chơi với súc sắc hình cầu mà mỗi điểm trên mặt cầu là một khả năng). Những nỗ lực xử lý các tình huống như vậy chỉ mang lại những kết quả mâu thuẫn và tạo ra một hình ảnh xấu về lý thuyết xác suất.

Uy tín và thanh danh là những phẩm chất được Kolmogorov coi trọng. Sau khi chuyển ngành học, ban đầu Kolmogorov gia nhập nhóm toán của Nikolai Luzin, một giảng viên nổi tiếng đầy sức cuốn hút ở Đại học Moskva. Những học trò của Luzin đặt tên cho nhóm là “Luzitania,” một cách chơi chữ theo tên giáo sư của họ và con tàu của Anh bị chìm trong Thế chiến thứ nhất. Họ được thống nhất bởi một “nhịp đập của các con tim”, như Kolmogorov từng mô tả, tập hợp nhau lại sau giờ học để bàn luận chuyên sâu về những phát kiến mới trong toán học. Họ nhại partial differential equation (các phương trình đạo hàm riêng) thành partial irreverential equations (các phương trình bất kính riêng) và finite difference (sai phân hữu hạn) thành fine night differences (những khác biệt trong đêm vui vẻ). Lý thuyết xác suất, thiếu cơ sở lý thuyết chắc chắn và bị vướng vào các nghịch lý, đã bị đùa cợt thành “lý thuyết của sự không may”.

Cũng bởi Luzitania mà cách nhìn nhận của Kolmogorov về lý thuyết xác suất có thêm một bước chuyển mang tính cá nhân. Cho tới thập niên 30 thế kỷ trước dưới thời Stalin, bất kỳ ai cũng có thể bị công an mật gõ cửa ban đêm và sự may rủi quyết định cuộc sống của mọi người. Bị tê liệt bởi sợ hãi, rất nhiều người Nga cảm thấy bắt buộc phải tham gia vào việc tố giác, với hi vọng có thể tăng thêm cơ hội sống sót của mình. Một số người Bolshevik trong cộng đồng toán học, bao gồm cả những học trò cũ của Luzin, đã gán cho Luzin tội phản bội và phê phán ông gay gắt vì đã công bố công trình ở các tạp chí của nước ngoài. Bản thân Kolmogorov lúc ấy cũng có công bố ở nước ngoài nên có thể đã nhận thấy khả năng mình bị tố giác. Ông đã biểu lộ sự sẵn sàng thỏa hiệp về mặt chính trị vì lợi ích sự nghiệp của mình, chấp nhận một vị trí giám đốc viện nghiên cứu khi người tiền nhiệm của ông vì ủng hộ tự do tôn giáo mà bị chế độ Stalin bỏ tù. Bấy giờ, Kolmogorov tham gia phê bình và quay lưng lại với Luzin. Luzin đã trở thành đối tượng một buổi xét xử bởi Viện Hàn lâm Khoa học và mất tất cả các vị trí chính thức, nhưng đã thoát khỏi sự bắt giam và xử bắn bởi chính quyền Nga một cách ngạc nhiên. Luzitania cũng tan rã, bị đánh chìm bởi chính thủy thủ đoàn của nó.

Không bàn đến khía cạnh đạo đức trong quyết định của ông, Kolmogorov đã đặt cược thành công và nhận lại sự tự do để tiếp tục nghiên cứu. Trái ngược với sự phục tùng của mình trong chính trị, trong lý thuyết xác suất, Kolmogorov đã đưa ra một sửa đổi cấp tiến căn bản và thực sự là nền tảng của lĩnh vực này. Ông dựa vào lý thuyết độ đo, một lý thuyết thời thượng, mới được du nhập vào Nga từ Pháp. Lý thuyết độ đo là sự tổng quát hóa của các khái niệm “độ dài”, “diện tích” hay “thể tích”, cho phép đo đạc nhiều đối tượng toán học rắc rối nằm ngoài khả năng của các phương pháp thông thường. Chẳng hạn, nó có thể giúp tính diện tích của một hình vuông với vô hạn các lỗ ở bên trong, chia nó thành vô hạn các mảnh nhỏ, phân tán trên một mặt phẳng vô hạn. Trong lý thuyết độ đo, người ta vẫn có thể nói về “diện tích” (độ đo) của vật thể bị phân tán như thế.

Kolmogorov mô tả những tương tự giữa lý thuyết xác suất và lý thuyết độ đo, thể hiện trong năm tiên đề, ngày nay thường được phát biểu thành sáu mệnh đề, đưa xác suất trở thành một lĩnh vực được tôn trọng của giải tích toán học. Khái niệm căn bản nhất trong lý thuyết của Kolmogorov là “biến cố cơ bản,” kết quả của một phép thử đơn lẻ, như tung một đồng xu. Tất cả các biến cố cơ bản lập thành “không gian mẫu”, tập hợp của tất cả các kết quả khả dĩ. Chẳng hạn như với các cú sét đánh ở Massachusetts, không gian mẫu sẽ bao gồm tất cả các điểm trong bang mà sét có thể đánh vào. Một biến cố ngẫu nhiên sẽ được định nghĩa là một “tập đo được” trong một không gian mẫu, và xác suất của một biến cố ngẫu nhiên là “độ đo” của tập đó. Ví dụ xác suất sét đánh trúng Boston sẽ phụ thuộc vào diện tích (“độ đo”) của thành phố này. Hai biến cố xảy ra đồng thời có thể được biểu diễn bởi giao của các độ đo của chúng; xác suất có điều kiện được biểu diễn bởi thương các độ đo; và xác suất mà một trong hai biến cố không phụ thuộc vào nhau xảy ra được tính bằng cách cộng các độ đo (ví dụ như, xác suất hoặc Boston hoặc Cambridge sẽ bị sét đánh được tính bằng tổng diện tích của chúng).

Nghịch lý Đường tròn lớn là một câu đố toán học quan trọng mà khái niệm xác suất của Kolmogorov cuối cùng đã giải được. Giả sử rằng người ngoài hành tinh hạ cánh ngẫu nhiên trên một hành tinh hình cầu hoàn hảo và xác suất điểm hạ cánh được phân bố đều. Như vậy có phải họ sẽ hạ cánh với xác suất như nhau ở bất kỳ nơi nào dọc theo bất kỳ đường tròn nào chia mặt cầu thành hai bán cầu bằng nhau, hay còn gọi là “đường tròn lớn”? Hóa ra xác suất hạ cánh được phân bố đều dọc theo đường xích đạo, nhưng phân bố không đều trên các đường kinh tuyến, với xác suất tăng dần khi tới gần đường xích đạo và giảm ở các cực. Nói cách khác, người ngoài hành tinh có xu hướng hạ cánh ở những vùng có khí hậu nóng hơn. Có thể giải thích kết quả lạ lùng này bằng hình ảnh các đường tròn vĩ tuyến lớn dần khi chúng tiến dần tới xích đạo – nhưng kết quả này nghe có vẻ thật vô lý, bởi vì chúng ta có thể quay đường tròn và biến đường xích đạo thành một đường kinh tuyến. Kolmogorov đã chỉ ra rằng đường tròn lớn có độ đo bằng không, bởi vì nó là một đoạn thẳng và có diện tích bằng không. Điều này lý giải sự mâu thuẫn hiển nhiên trong các xác suất có điều kiện của việc hạ cánh tồn tại bởi không thể tính toán một cách nghiêm túc những xác suất như vậy.

Tưởng có thể gác qua một bên thế giới thực với những thanh trừng theo kiểu Stalin để bước vào thế giới phù du của những xác suất có điều kiện với độ đo-không, nhưng Kolmogorov đã sớm phải quay về với hiện thực. Trong Thế chiến thứ hai, Chính phủ Nga yêu cầu Kolmogorov phát triển các phương pháp giúp tăng tính hiệu quả của pháo binh. Ông đã chỉ ra rằng thay vì cố gắng tối đa xác suất mỗi phát bắn trúng đích, trong một số trường hợp cụ thể sẽ tốt hơn nếu bắn một loạt đạn có độ lệch nhỏ so một phát ngắm chuẩn xác, một chiến thuật được biết đến dưới tên gọi “phân tán nhân tạo”. Bộ môn Lý thuyết xác suất của Đại học Moskva mà Kolmogorov là tổ trưởng, cũng đã tính toán các bảng đạn đạo cho những pha ném bom tầm thấp, vận tốc nhỏ. Vào năm 1944 và 1945, chính phủ đã trao thưởng cho Kolmogorov hai Huân chương Lenin cho những đóng góp của ông trong thời chiến và sau cuộc chiến ông làm việc với tư cách cố vấn toán học cho chương trình vũ khí nhiệt hạch.

Nhưng những mối quan tâm của Kolmogorov vẫn hướng ông tới những hướng nghiên cứu có tính triết lý hơn. Toán học đã dẫn ông tới niềm tin rằng thế giới được dẫn dắt bởi tính ngẫu nhiên và cơ bản được sắp đặt dựa trên các định luật xác suất. Ông thường chỉ ra vai trò của tính không dự đoán được trong những mối quan hệ của con người. Cuộc gặp gỡ tình cờ của Kolmogorov với nhà toán học cùng thời Pavel Alexandrov trong một buổi chèo thuyền năm 1929 đã khởi đầu cho một tình bạn thân thiết suốt đời. Trong một lá thư dài mà họ thẳng thắn trao đổi, Alexandrov đã phê phán Kolmogorov vì ý thích nói chuyện với người lạ trên tàu, ngụ ý rằng những gặp gỡ như vậy quá hời hợt, không giúp nhận diện tính cách thực của một con người. Kolmogorov phản đối, ông đưa ra quan điểm xác suất rất cấp tiến về những tương tác xã hội trong đó mỗi người hành động như những mẫu thống kê đại diện cho các nhóm lớn hơn. Ông viết hồi âm cho Alexandrov rằng “một cá nhân sẽ có xu hướng hấp thu tinh thần xung quanh, và thể hiện với bất kỳ ai quanh mình, không chỉ với một người bạn nhất định, về phong cách sống và thế giới quan mà họ hấp thu được”.

Kolmogorov quan tâm sâu sắc tới âm nhạc, văn chương và ông tin rằng mình có thể phân tích chúng dưới khía cạnh xác suất để thu được những hiểu biết sâu sắc về cách tư duy bên trong trí óc con người. Ông là người tin vào tính thứ bậc trong văn học nghệ thuật. Ở đỉnh tháp là các tác phẩm của Goethe, Pushkin, và Thomas Mann cùng với những sáng tác của Bach, Vivaldi, Mozart và Beethoven, những công trình có giá trị trường tồn tương tự như những chân lý toán học vĩnh cửu. Kolmogorov nhấn mạnh rằng mỗi công trình nghệ thuật đích thực là một sáng tạo độc nhất, thứ gì đó không dự đoán được, nằm ngoài địa hạt của những chuẩn mực thống kê đơn giản. “Liệu có thể xếp một cách hợp lý tác phẩm Chiến tranh và Hòa bình của Tolstoy vào chung trong một tập hợp của ‘tất cả những tiểu thuyết có thể sinh ra trên đời’, và hơn nữa là thiết lập một phân bố xác suất nào đó cho các phần tử trong tập hợp này hay không?”, ông hỏi đùa trong một bài báo in năm 1965.

Dù vậy, ông vẫn khao khát hiểu bản chất của sáng tạo nghệ thuật. Năm 1960, Kolmogorov tổ chức một nhóm các nhà nghiên cứu với những máy tính cơ điện và giao cho họ nhiệm vụ tính toán cấu trúc nhịp điệu của thơ ca Nga. Kolmogorov đặc biệt quan tâm tới độ lệch của nhịp điệu các bài thơ trong thực tế so với những vần luật cổ điển. Trong thơ ca truyền thống, vần luật kiểu iamb là một nhịp điệu bao gồm một âm tiết không nhấn theo sau một âm tiết nhấn. Nhưng trong thực tế, người ta hiếm khi tuân thủ quy tắc này. Trong tác phẩm Evegnhi Onhegin của Pushkin, bài thơ iamb cổ điển nổi tiếng nhất bằng tiếng Nga, gần như ba phần tư trong 5300 dòng của nó vi phạm quy tắc vần luật iamb, và hơn một phần năm của tất cả những âm tiết chẵn là không nhấn. Kolmogorov tin rằng tần suất sai lệch này cho thấy một “chân dung thống kê” khách quan về mỗi nhà thơ. Ông cho rằng, một mẫu hình nhấn trọng âm bất thường là chỉ dấu cho tính sáng tạo và biểu đạt nghệ thuật. Nghiên cứu Pushkin, Pasternak và những nhà thơ Nga khác, Kolmogorov lập luận rằng họ đã biến tấu các vần luật để tạo ra “sắc thái tổng thể” cho bài thơ hay đoạn văn của mình.

Để đo giá trị nghệ thuật của văn bản, Kolmogorov còn sử dụng một phương pháp đoán chữ để đánh giá entropy của một ngôn ngữ tự nhiên. Trong lý thuyết thông tin, entropy là một thước đo tính bất định hoặc tính không dự đoán được, tương ứng với nội dung thông tin của một thông điệp: thông điệp càng không thể dự đoán được thì thông tin mà nó hàm chứa càng nhiều. Kolmogorov đưa entropy thành một thước đo của tính độc đáo trong nghệ thuật. Nhóm của ông đã sắp đặt một chuỗi các phép thử, trong đó các tình nguyện viên được xem một trích đoạn văn xuôi hoặc thơ ca Nga, rồi yêu cầu họ đoán chữ cái tiếp theo, tiếp theo nữa, rồi cứ tiếp tục như vậy. Kolmogorov ngầm nhận xét rằng, từ góc nhìn của lý thuyết thông tin, các tờ báo Xô viết thường ít thông tin hơn thơ ca, bởi vì các bài diễn thuyết chính trị thường sử dụng nhiều những cụm từ có tính khuôn sáo và nội dung của chúng rất dễ đoán trước. Trái lại, các bài thơ của những nhà thơ vĩ đại lại khó đoán hơn rất nhiều, mặc dù chúng phải tuân thủ những quy phạm rất chặt chẽ theo thể thơ. Theo Kolmogorov, đây là một biểu hiện của tính độc đáo. Nghệ thuật đích thực thì không đoán trước được, nhưng phẩm chất đó lại có thể được đo lường bởi một lý thuyết xác suất có chất lượng cao.

Kolmogorov không thể chấp nhận việc coi Chiến tranh và Hòa bình như một phần tử nằm chung trong một tập hợp của tất cả mọi tiểu thuyết – nhưng ông có thể biểu đạt tính không thể dự đoán của nó bằng cách tính toán độ phức tạp của nó. Kolmogorov coi độ phức tạp của một đối tượng chính là độ dài của mô tả ngắn nhất về nó, hoặc là độ dài của thuật toán tạo ra đối tượng. Những đối tượng tất định đều đơn giản theo nghĩa rằng chúng có thể được sinh ra từ những thuật toán ngắn như một chuỗi tuần hoàn các số 0 và 1. Những đối tượng thực sự ngẫu nhiên, không thể dự đoán được thì đều phức tạp, bởi bất kỳ thuật toán nào sinh ra chúng cũng phải dài như chính bản thân chúng vậy. Ví dụ, những số vô tỷ – những con số không thể viết dưới dạng phân số – dãy chữ số đằng sau dấu thập phân xuất hiện ngẫu nhiên và hầu như không hề có một quy luật nào. Bởi vậy, hầu hết các số vô tỷ đều là các đối tượng phức tạp bởi vì chúng chỉ có thể được ghi lại bằng cách viết ra toàn bộ dãy các chữ số. Cách hiểu về độ phức tạp này phù hợp với ý niệm trực quan rằng không có phương pháp hay thuật toán nào có thể dự đoán các đối tượng ngẫu nhiên. Khái niệm này ngày nay rất quan trọng trong vai trò thước đo các tài nguyên tính toán cần có để biểu đạt một đối tượng, đồng thời có nhiều ứng dụng trong định tuyến mạng hiện đại, các thuật toán sắp xếp và nén dữ liệu.

Có thể nói Kolmogorov có một cuộc đời phức tạp, nếu ta căn cứ theo phương thức đo mà bản thân ông tạo ra. Cho tới lúc mất năm 1987 ở tuổi 84, ông đã không chỉ trải qua một cuộc cách mạng, hai lần Thế chiến và Chiến tranh lạnh, mà sự sáng tạo của ông đã chạm tới hầu hết các địa hạt trong toán học, vươn xa khỏi biên giới của khoa học hàn lâm. Dù chúng ta coi những bước đi ngẫu nhiên của ông trong cuộc đời là của người say hay của người nhặt nấm, thì những khúc rẽ và bước ngoặt của chặng đường ấy đều không dự đoán được và cũng không thể dễ dàng mô tả. Thành công của ông trong việc nắm bắt và áp dụng tính không dự đoán được đã làm hồi sinh lý thuyết xác suất, và đã tạo ra một miền đất cho vô hạn các dự án khoa học và kỹ thuật. Nhưng lý thuyết của ông cũng khuếch đại sự căng thẳng, giữa một bên là trực giác của con người về tính không thể dự đoán được, và bên kia là sức mạnh hiển nhiên của công cụ toán học để mô tả nó.

Với Kolmogorov, những ý tưởng của ông không loại bỏ tính ngẫu nhiên mà cũng không khẳng định một bản tính bất định căn bản về thế giới của chúng ta; chúng chỉ cung cấp một ngôn ngữ đủ chặt chẽ để nói về những gì không thể biết chắc chắn. Ông từng nói, khái niệm “ngẫu nhiên tuyệt đối” cũng chẳng hợp lý hơn khái niệm “tất định tuyệt đối”, và kết luận: “chúng ta không thể có những hiểu biết xác thực về sự tồn tại của những gì không thể biết.” Nhưng, dẫu sao thì nhờ có Kolmogorov, chúng ta có thể giải thích khi nào và tại sao lại có sự không thể đó.

Hoàng Mai dịch từ bài viết The Man Who Invented Modern Probability của Slava Gerovitch đăng trên trang Nautilus, 

Phùng Hồ Hải hiệu đính

Nguồn: http://nautil.us/issue/4/the-unlikely/the-man-who-invented-modern-probability

———–&&———-

Phân phối ổn định (Stable distribution)

Phân phối ổn định (Stable distribution)

Phân phối ổn định là gì ?

Trong lý thuyết xác suất, một phân phối (hoặc một biến ngẫu nhiên) được gọi là ổn định  nếu mọi tổ hợp tuyến tính của hai phiên bản độc lập bất kỳ đều có cùng một phân phối, sai khác tham số vị trí (location parameter) và tham số tỉ lệ (scale parameter). Họ các phân phối ổn định cũng đôi khi được gọi là phân phối alpha-ổn định Lévy (Lévy alpha-stable distribution).

Trong 4 tham số xác định nên phân phối ổn định, gồm:  α  (stability), β (skewness), c (scale), μ (location); tham số ổn định α (0 <α ≤ 2) là quan trọng nhất. Phân phối ổn định có α = 2 tương ứng với phân phối chuẩn, và α = 1 tương ứng phân phối Cauchy. Các phân phối có phương sai không xác định khi α <2, và có trung bình không xác định α ≤ 1.

Tính chất quan trọng của phân bố ổn định là tính “hấp dẫn” (“attractors”) cho tổng chuẩn hóa của họ các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối (iid). Tính chất này tương tự /mở rộng  tính chất của phân phối chuẩn, và cũng có định lý giới hạn trung tâm (mở rộng) cho phân phối ổn định: Tổng chuẩn hóa của họ các biến ngẫu nhiên idd có phương sai vô hạn (thêm một số giả thiết) sẽ tiệm cận tới một phân phối ổn định.

Mandelbrot gọi phân phối ổn định có phương sai vô hạn (không là phân phối chuẩn, α <2) là phân phối Paretian ổn định; và gọi phân phối ổn định có tính “dương” (lệnh cực đại theo hướng dương, 1 <α <2) là phân phối Pareto-Levy .

B. Mandelbrot (và cả E. Fama) là người đã giới thiệu/cổ súy cho ứng dụng phân phối ổn định trong phân tích giá cổ phiếu và giá hàng hóa (xem: Financial models with long-tailed distributions and volatility clustering).

Tài liệu hướng dẫn thực hành phân phối ổn định trên R:

• Introduction to stable distributions for finance
• libstable: Fast, Parallel, and High-Precision Computation of α-Stable Distributions in R, C/C++, and MATLAB
• STABLE for R, matlab, Excel, Mathematica (John Nolan)

---

---

Các trường hợp đặc biệt và một số ứng dụng của phân bố Alpha ổn định (Trần Hữu Trung)

So sánh với phân bố Gauss, phân bố alpha ổn định có hàm đặc trưng tiệm cận đến 0 chậm hơn nhiều nên còn được gọi là phân bố có đuôi dài. Trong các trường hợp đặc biệt phân bố này có thể suy biến về phân bố Gauss. Trong khuôn khổ bài báo này chúng tôi tập trung nghiên cứu các trường hợp đặc biệt của phân bố alpha ổn định, tính chất và đặc điểm như hàm đặc trưng, khả năng suy biến. Chúng tôi cũng đề xuất một số ứng dụng của phân bố này trong tự nhiên.

1. Đặt vấn đề

Khi nghiên cứu phân bố của một số hiện tượng trong tự nhiên, để lý giải các trường hợp đột biến, các nhà khoa học nhận thấy rằng phân bố chuẩn (phân bố Gauss) trong nhiều trường hợp không còn phù hợp. Ví dụ như khi lý giải hiện tượng biên độ nhiễu xung đo tại khu công nghiệp, xuất hiện những biên độ lên tới 5V, thậm chí 10V đỉnh đỉnh. Vấn đề đặt ra ở đây là cần mô tả những phân bố của các hiện tượng dạng này như thế nào? Paul Levy từ những năm 1960 đã đưa ra phân bố lệch Levy [2], đã được Mandelbroit [3] cùng John Nolan phát triển đề xuất một dạng phân bố mới – phân bố alpha ổn định. Gần đây ngày càng nhiều các nghiên cứu về phân bố alpha ổn định, một dạng phân bố Non- Gauss. Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu về tính chất, các dạng suy biến cũng như một số ứng dụng cụ thể của phân bố alpha ổn định dựa trên các kết quả đo lường, khảo sát thực tế tại Việt Nam.

Bài viết đầy đủ: download

---

---

Phân phối ổn định và một số ứng dụng trong thống kê (Lã Thị Lương)

Trình bày một số kiến thức cơ sở về phân phối ổn định: định lý giới hạn trung tâm, phân phối ổn định, các cách tham số hóa khác đối với phân phối ổn định, ý nghĩa các tham số của phân phối ổn định, mômen của phân phối ổn định và các tính chất, phép biến đổi tuyến tính của các biến ngẫu nhiên ổn định, hàm mật độ xác suất và hàm phân phối của biến ngẫu nhiên ổn định. Tìm hiểu ước lượng các tham số của phân phối ổn định: phương pháp phân vị, phương pháp dựa trên hàm đặc trưng, phương pháp hợp lý cực đại, kiểm định đánh giá dáng điệu đuôi của phân phối ổn định. Triển khai mô hình thống kê đối với phân phối ổn định: mô hình tuyến tính với nhiễu ổn định, mô hình hồi quy đối với các sai số a− ổn định không chuẩn, mô hình ARMA. Áp dụng mô hình ARMA với sai số phân phối ổn định: Công ty cổ phần Xuyên Thái Bình và cổ phiếu PAN, mô hình ARMA đối với mã cổ phiếu PAN, ước lượng các tham số phân phối ổn định của phần dư, kiểm định tính phù hợp với phân phối ổn định của sai số.

---

---

Phân phối ổn định và các phương pháp ước lượng chỉ số đuôi của phân phối ổn định (Nguyễn Phúc Khang)

———–&&———-

Probability Distribution Family Tree

Probability Distribution Family Tree

(Tác giả: Frank Nielsen – Vincent Garcia)

Lịch sử Lý thuyết xác suất

 Lịch sử Lý thuyết xác suất

(Nguồn: thunhan.wordpress.com)

Có thể nói sự bắt nguồn cho câu chuyện về xác suất và thống kê là từ một vài bài viết được đề cập từ những sự nỗ lực độc lập của Cardano (Liber de Ludo Aleae (1565), xuất hiện lần đầu tiên vào năm 1663) và Galilei(Sopra le Scoperte dei Dadi (vào khoảng 1620), xuất hiện lần đầu tiên vào năm 1718), nhưng vào thời điểm đó đã có một sự đồng quan điểm được nhận định từ một số câu hỏi về trò chơi cờ bạc được Antoine Gombaud, Chevalier de Méré và Damien Mitton gởi cho Pascal vào năm 1654.

Thời gian này chưa có báo chí khoa học như ngày nay, do đó cần có những phương thức khác thật sự cần thiết để nắm bắt và công bố những công trình nghiên cứu về môn khoa học mới. Thư từ là một trong những con đường giải quyết hiệu quả trở ngại này. Thật vậy, Martin Marsenne đã như là người trung gian giữ vai trò kết nối sự liên lạc giữa các nhà khoa học và triết học trên toàn châu Âu bằng cách viết và nhận những lá thư, sau đó chuyển chúng cho những người khác. Trong số những người bạn thư của ông có nhiều nhà khoa học và triết học như Descartes, Pascal, Fermat, Galilei và Huygens.

Những vấn đề về XSTK xuất hiện trong Thế kỷ thứ 17:

Năm 1654: Giữa tháng 7 và tháng 10 của năm đó đã có 7 lá thư được trao đổi giữa Blaise Pascal và Pierre de Fermat có thể được xem chính là nguồn gốc đích thực của lý thuyết xác suất. Một trong các chủ đề chính của những lá thư này là thảo luận câu hỏi được đề cập trước đây của Méré về problème des partis (vấn đề chia điểm) giữa hai người chơi P1 và P2 khi họ chơi một chuỗi những ván chơi công bằng, và cuộc chơi sẽ kết thúc khi một trong 2 người chơi thắng được N ván chơi (N là số đã biết trước). Nhưng đột nhiên cuộc chơi bị gián đoạn. P1 đã thắng N1 ván chơi, P2 thắng N2 ván chơi. Làm thế nào để chia tiền thưởng?

Pascal dường như có ý định viết một cuốn sách ngắn về bài toán problème des partis (cách chia điểm) được gọi là Aleae Geometria nhưng dự định này chưa được thực hiện.

Năm 1656: Đầu năm, Christiaan Huygens đã viết một bản thảo về Van Rekeningh in Spelen van Geluck và gửi cho Frans van Schooten, giáo sư toán học của trường đại học Leyden. Huygens là một trong những sinh viên cũ của ông. Van Schooten thật sự thích thú quan tâm tới bản thảo của Christiaan Huygens và muốn đưa nó vào thành phần cuối của cuốn sách toán mà ông đang viết.

Van Rekeningh in Spelen van Geluck là một chuyên luận ngắn khoảng 15 trang mà có lẽ Huygens có được dựa trên những gì ông ta nhận thấy về những vấn đề thảo luận qua thư từ giữa Pascal và Fermat trong suốt những năm đầu tiên ông ở Paris.

Trong bản thảo cuối cùng có chứa 14 vấn đề (Voorstellen) cùng với lời giải của chúng và 5 vấn đề dành cho người đọc giải quyết. Năm vấn đề cuối này là một phần nội dung thảo luận của Fermat và Pascal.

Vấn đề thứ 2 và thứ 4 trong 5 vấn đề cuối cùng này liên quan đến việc nhặt những mảnh vỡ đen và trắng trong khi bịt mắt (tiền thân của mô hình bình kín – the urn model). Vấn đề cuối cùng trong 5 vấn đề trên được biết đến như là vấn đề Gambler’s Ruin, xuất phát từ thảo luận thư từ giữa Pascal và Fermat được tiếp tục vào năm 1656. Huygens đã nghe thấy những vấn đề của Pascal và Fermat này từ Pierre Carcavy. Năm vấn đề cuối cùng là nền tảng cho các nhà toán học sau này (như là Jacob và Nicholas Bernoulli, de Moivre và Montmort) nghiên cứu hay cải tiến dựa trên những lời giải mà Huygens sẽ công bố.

Năm 1657: De Ratiociniis in Ludo Aleae, một bản dịch từ tiếng Latin của Van Rekeningh in Spelen van Geluck của tác giả Frans van Schooten, cùng với phần giới thiệu trong những bài viết của Huygens là ấn phẩm đầu tiên về xác suất (như trò cờ bạc). Đây cũng là phần cuối cùng củaVan Schootens Exercitationum Mathematicarum libri quinque (Năm cuốn sách Bài tập Toán học).

Nhiều bản viết bằng tiếng Latin khác cũng được tìm thấy trong trang web đang xây dựng về Christiaan Huygens.

Năm 1660: Bài viết gốc tiếng Hà Lan của Van Rekeningh in Spelen van Geluck, cùng với phần giới thiệu trong những bài viết của Huyghensđược Van Schooten xuất bản trong Mathematische Oeffeningen, begrepen in vijfboecken (bản dịch tiếng Hà Lan xuất bản năm 1657).

Nhiều bản viết tiếng Hà Lan có thể tìm thấy trong trang web đang xây dựng về Christiaan Huygens.

Năm 1662: John Graunt bắt đầu xuất bản công trình nghiên cứu của anh ta với tên gọi Observations on the Bills of Mortality (Những quan sát tỷ lệ tử vong). Những thư báo hàng tuần trong giai đoạn này, xuất bản lần đầu tiên vào năm 1604, được sử dụng để phát hiện sự bùng nổ một bệnh dịch, nhưng chưa bao giờ được phân tích một cách đúng đắn. John Graunt là người đầu tiên tóm tắt những dữ liệu thành biểu đồ và thực hiện việc phân tích mô tả thống kê trên những biểu đồ này.

John Graunt thảo luận về độ tin cậy của những dữ liệu mà ông nhận được. John Graunt là người đầu tiên giải thích “một cách thống kê” rằng số lượng nam và nữ tương đối bằng nhau và từ đó đưa ra một nhận định tỷ lệ giới tính trong sinh sản là ổn định. Ông còn là người đầu tiên xây dựng một biểu đồ sống góp phần tạo nên nền tảng cho toán học bảo hiểm nhân thọ.

Năm 1666: Trong Le Journal des Scavans, ngày 2/8/1666 xuất hiện một bản báo cáo về công trình Observations on the Bills of Mortality, tái bản lần thứ 3 (1665) của John Graunt. Bản báo cáo này đưa ra một tóm tắt về “những phản ánh sự tìm hiểu“, và dữ liệu về tuổi thọ trung bình của Graunt. Báo cáo này được Nicolaus Bernoulli sử dụng trong tập De Usu Artis Conjectandis in Jure (1709) của ông.

Năm 1670: Juan Caramuel Lobkowitz xuất bản Mathesis Biceps, một bách khoa toàn thư toán học, trong đó ông ta in lại tiểu luận của Huygens De Ratiociniis in Ludo Alea. Ông sai lầm khi cho rằng tiểu luận này là của một nhà thiên văn học người Đan mạch C.S Longomntanus (4/10/1562-1647), một trợ lý của Tycho Brahe.

Rất nhiều những xuất bản sau này có thể tìm thấy trong trang web đang xây dựng về Christiaan Huygens.

Năm 1671: Waerdije van Lijfrenten Naer Proportie van Losrenten của Johan de Witt được xuất bản. Quyển sách này tương đối hiếm, được đúc kết lại bởi Todhunter (1865) và Van der Waerden (1975). Những lá thư trao đổi giữa Jacob Bernoulli và Leibnitz vào những năm 1703–1705 cho thấy rằng Jacob biết về cuốn sách này và cố gắng để có được nó từ Leibnitz, người đang sở hữu một bản copy nhưng hình như đã đánh mất.

Năm 1684: Năm năm tiếp theo Jacob Bernoulli phát triển ý tưởng của ông trên nền tảng xác suất như đã mô tả trong tập Maditationes (sự suy ngẫm) của ông. Những điều này là nền tảng cho tập Ars Conjectandi (1713) của ông ta.

Năm 1692: Bản dịch của John Arbuthnot về De Ratiociniis in Ludo Aleae của Huygens trở thành xuất bản phẩm Anh ngữ đầu tiên về xác suất. Nó có nhan đề “Of the Laws of Chance” hay “a method of Calculation of the Hazards of Game, Plainly demonstrated, And applied to Games as present most in Use“.

Lời nói đầu của cuốn sách có những lời bình phẩm như sau:

Không thể có một cái chết khi đã xác định nghị lực và phương hướng, nhưng cũng không thể rơi vào một khía cạnh xác định nào, tôi không biết có một sức mạnh và phương hướng nào có thể làm nó rơi vào một khía cạnh xác định, và do đó tôi gọi nó là Cơ duyên, thứ mà không là gì nhưng lại là nỗi khát khao của nghệ thuật…

Tôi tin Sự tính toán định lượng của xác suất có thể được cải tiến để trở thành một lối Tư duy lý luận hữu ích, thú vị; ứng dụng cho nhiều Biến cố lớn bất ngờ, bên cạnh những Trò chơi, chỉ những Trường hợp quá sức phức tạp, phụ thuộc vào Cơ duyên mà hầu hêt con người không biết đến; và như vậy tôi cũng sẵn sàng gợi ý, tất cả các cuộc vận động trên thế giới không là gì khác ngoài một hình thức đó là Phân tích định lượng xác suất trong những biến cố tình cờ, và dấu hiệu nhận biết một nhà chính trị lỗi lạc không gì hơn là người biết khéo léo trong Sự tính toán; chỉ những Nguyên lý được sử dụng trong việc giải quyết của vấn đề, không thể nghiên cứu trong sự “đóng kín” mà phải đòi hỏi có sự  Quan sát của nhân loại.

Sự tính toán định lượng xác suất cũng nên được hình thành qua Kinh nghiệm, để dùng trong những cuộc chơi đánh cuộc về vấn đề gì đó; Số lẻ nếu có một người đàn bà và một đứa bé, nhưng đứa bé này phải là con trai, và nếu bạn muốn biết sẽ là số lẻ, bạn phải xem xét đến Tỷ lệ chịu đựng giữa nam và nữ.

… Tôi nghĩ rằng một con người có lẽ sẽ mạo hiểm với một vài sự so le như 100 hiến binh chiến đấu với cùng số người trong quân đội Hà Lan.

Nhận xét về tỷ lệ … sức chịu đựng của nam so với nữ sẽ được mở rộng trong công trình của ông ta xuất bản năm 1710.

Năm 1693: Công việc của Edmond Halley trên biểu đồ sinh được công bố trong An estimate of the Degrees of Mortality of Mankind (Một ước lượng về mức độ tỷ lệ tử vong của nhân loại), rút ra từ biểu đồ tìm hiểu về tỷ lệ sinh và tử tại thành phố thuộc Breslaw, với một nỗ lực muốn xác minh giá tiền trợ cấp sống và một vài sự xem xét khác.

Những vấn đề về XSTK xuất hiện trong Thế kỷ thứ 18:

1 bìa sách Doctrine of Chances được tái bản – Nguồn: st

Tiểu luận của Huggens vẫn có giá trị trong lĩnh vực xác suất trong vòng 50 năm. Những năm đầu của thế kỷ 18 đã chứng kiến một loạt các công trình về xác suất của Montmort, Nicolaus Bernoulli, De Moivre và Jacob Bernoulli (sau khi ông mất). Có lẽ điều này xảy ra từ sự khích lệ của những“lời nói thì thầm”, những bài viết rất khó hiểu trong Ars Conjectandi, mà ngay tác giả của nó là Jacob Bernoulli cũng trăn trở suy nghĩ trong 20 năm và trước khi ông mất vẫn chưa giải quyết xong.

Sau khi Montmort mất, chính De Moivre đã tiếp nối Doctrine Of Chance(Học thuyết sự ngẫu nhiên) của ông ta. Từ giữa thế kỷ 18 , vấn đề kết hợp những kết quả quan sát đã trở thành một đề tài quan trọng được nghiên cứu bởiBoscovich, Laplace và những nhà khoa học khác.

Năm 1705: Jacob Bernoulli mất. Một bản trường ca của Fontenelle viết tóm tắt công trình Ars Conjectandi của Jacob Bernoulli đã được xuất bản trong những năm tiếp theo. Do sự tranh chấp của gia đình, phải mất 8 năm trước khi Ars Cọnjectandi được xuất bản. Đây là điều đáng buồn vì nội dung chính của văn bản đã được hoàn thành vào năm 1690.

Năm 1708: Pierre Remond de Montmort xuất bản công trình Essai d’Analyse sur les Jeux de Hazards.

Năm 1709: Luận văn của Nicolaus Bernoulli, De Usu Artis Conjectandis in Jure, được xuất bản vào năm 1709. Phần lớn của luận văn được sao chép trực tiếp từ những công trình của Jacob Bernoulli như là Meditationes và Ars Cọnjectandi.

Năm 1710: John Arbuthnot đọc bài luận của ông An Argument for Divine Providence, taken from the constant Regularity observed in the Births of both Sexes (Cuộc tranh cãi ý trời về tính đều khi quan sát tỷ lệ sinh giữa hai giới tính) (xuất bản năm 1712) cho hoàng gia. Ông đã xem xét số lượng lễ đặt tên hàng năm cho các bé trai và bé gái trong suốt giai đoạn dài trước đó (1629-1710). Ông nhấn mạnh rằng có nhiều bé trai hơn bé gái và tỷ lệ này gần như là hằng số.

Từ nhận định này, ông đã tính xác suất và đưa ra sự khác nhau về số các kết quả là 0.5 Ngoại suy kết quả này, ông ta kết luận … Tuổi và Tuổi… và… trên khắp Thế giới… đó là Nghệ thuật, không phải là Ngẫu nhiên, là sự định đoạt.

Năm 1711: Abraham de Moivre xuất bản công trình De Mensura Sortis, seu, de Probilitate Eventuum in Ludis a Casu Fortuito Pendentibus.

Năm 1712: Willem Jacob’s Gravesande xuất bản công trình Démonstration Mathématique du soin que Dieu prend de diriger ce qui se passe dans ce monde, tiree du nombre des Garcons et des Filles qui naissent journellement (tạm dịch: Những bẳng chứng của Toán học về sự tác động của Chúa trời đối với tỉ lệ sinh trai, gái – M4Ps). Ông ta gặp Nicolaus Bernoulli (1687-1759) khi Bernoulli trên đường đến Anh quốc thăm Hague, và cùng thảo luận bài nghiên cứu của Arbuthnots với Bernoulli. Jacob’s Gravesande cải tiến sự xấp xỉ của Arbuthnot bằng cách đính chính những sự khác nhau về số liệu sinh đẻ xảy ra trong mỗi năm.

Năm 1713: Ars Cọnjectandi của Jacob Bernoulli được cháu trai của ông, Nicolaus Bernoulli, xuất bản khi ông đã qua đời; công trình gồm bốn phần:

I. Tractatum Hugenii De Ratiociniis in Ludo Aleae, Cum.

Một bản chú thích của Jacobi Bernoullj.

Một bản thuật lại chú thích của công trình De Ratiociniis in Ludo Aleae.

II. Doctrinam de Permutationibus & Combinationibus (Học thuyết về tính hoán vị & tính kết hợp) trong đó ông ta chứng minh phân phối nhị thức của Newton.

III. Usum Praecedentis Doctrinate in variis Sortitionibus & Ludis Aleae, trong đó ông ta áp dụng các yếu tố ở phần II vào các câu hỏi của xác suất.

IV. Usum & Applicationem Praecedentis Doctrinate in Civilibus, Moralibus & Oeconomicis, trong đó ông phát triển Luật (yếu) số lớn.

Năm 1713/14: Pierre Remond de Montomort xuất bản công trình thứ 2, mở rộng các kết quả của cuốn sách Essai d’Analyse sur les Jeux de Hazards. (tạm dịch: những phân tích thử nghiệm dựa trên trò chơi đầy tính nguy hiểm – M4Ps)

Năm 1714: Willian Browne xuất bản bản dịch của ông về công trình De Ratiociniis in Ludo Alae của Huygens. Ông từ bỏ kế hoạch ban đầu là thêm vào một phần với nội dung là những ví dụ, bởi vì khi ông viết lời nói đầu, nó đã được bao quát đầy đủ bởi Pierre Remond de Montmort’s enlarged Essai… Cuốn sách thứ 2 do John Arbuthnot dịch vào năm 1692 được xuất bản trong cùng năm.

Năm 1718: Abraham de Moivre định nghĩa sự độc lập thống kê trong cuốn sách của ông về Doctrine of Chances (Học thuyết sự Ngẫu nhiên).

Năm 1730: Abraham de Moivre công bố định lý giới hạn trung tâm trong trường hợp đặc biệt là phân phối nhị thức.

Năm 1733: Abraham de Moivre chỉ ra trong công trình của ông, Approximatio ad Summam Terminorum Binomii (a+b) in Seriem expansi, phân phối chuẩn là một xấp xỉ của phân phối nhị thức. Kết luận của ông :

Và như vậy trong tất cả các trường hợp, có thể thấy rằng tính Ngẫu nhiên sinh ra tính bất quy tắc, vẫn là những sự so le vô cùng lớn, qua Thời gian, những cái bất quy tắc sẽ không tỷ lệ với sự hồi quy của Quy luật, là những kết quả tự nhiên từ Thiết kế gốc.

Chúng ta phải đợi 77 năm trước khi phân phối chuẩn được nhận biết bởi Gauss và Laplace trong việc đưa ra miêu tả chung những sai số quan sát được sẽ có phân phối như thế nào.

Năm 1738: Abraham de Moivre công bố cuốn sách mở rộng thứ 2 của Doctrine of Chances (Học thuyết sự ngẫu nhiên), với một bản mở rộng tổng quan của Approximatio (bản Anh ngữ).

Theo Stigler (1986) vào khoảng năm 1750, sự thuận lợi của việc tổ hợp những quan sát đã từ từ trở nên rõ ràng. Mãi đến khi một khái niệm được chấp nhận đó là khi tổ hợp những quan sát, sai số sẽ tăng lên thay vì bù đắp cho nhau. Một ngoại lệ là vào thế kỷ 16, nhà du hành vũ trụ Đan Mạch, Tycho Brahe, như đã được mô tả bởi Hald (1990).

Năm 1749, Leonard Euler trong khi đang cố gắng giải quyết vấn đề bất đẳng thức trong chuyển động của Sao Mộc và Sao Thổ, đã không có chiều hướng kết hợp những quan sát. Tobias Mayer trong khi khắc phục vấn đề tương tự đã đưa ra khái niệm hàng rào và giải quyết vấn đề.

Năm 1757: The Dalmatian jesuit Roger Boscovich công bố ý tưởng của ông ta về việc tổ hợp những quan sát trong một bản đề cương của công trình năm 1755 với tham khảo Anh ngữ Christopher Maire của ông trong việc đo cung kinh tuyến nằm gần Rome. Một bản mô tả đầy đủ phương pháp của ông được công bố vào năm 1760, về sau xuất hiện trong một công trình khác đó là Voyage astronomique et geographique dans Pétat de Péglise (1770).

Năm 1763: Định lý của Thomas Bayes được giới thiệu sau khi ông mất, nhưng hầu như nó không gây chú ý trong làng toán học cho tới tận năm 1780.

Năm 1774: Pierre Simon Laplace công bố công trình Mémoire sur la probabilité des causes par les évènements, trong đó ông cố gắng Xác định giá trị trung bình có được sau ba lần quan sát trên cùng một hiện tượng. Có thể nói nội dung của công trình này dựa trên một hồi ký năm 1772 chưa được công bố và một công trình khác được mở rộng thúc đẩy từ kiến thức của những nhà khoa học khác cùng thời (Joseph-Louis Lagrange và Johan III Bernoulli) cũng nghiên cứu cùng một vấn đề. Tuy nhiên, một bước ngoặt sai lầm trong xấp xỉ đã làm Laphace kẹt ở phương trình bậc 15 trong lời giải của vấn đề.

Năm 1787: Pierre Simon Laplace xuất bản tập Théorie de Jupiter et Saturne (Lý thuyết về sao Mộc và sao Thổ), trong đó ông giải quyết vấn đề bất đẳng thức trong chuyển động của sao Mộc và sao Thổ và chứng minh trạng thái ổn định của hệ mặt trời. Ông cải tiến dựa trên phương pháp sử dụng kết hợp những quan sát Tobias Mayer.

Những vấn đề về XSTK xuất hiện trong Thế kỷ thứ 19:

Năm 1805: Adrien Marie Legendre công bố phương pháp bình phương cực tiểu trong cuốn sách Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes (tạm dịch: phương pháp mới xác định quỹ đạo của sao chổi – M4Ps). Theo Stigler (1986, trang145-146), Gauss nhắc đến phương pháp này như một nguyên tắc đơn giản vào năm 1809 và đã đề cập đến việc chính ông phát triển phương pháp bình phương cực tiểu vào năm 1775, nhưng không công bố. Đây chính là nguyên nhân Legendre tố cáo Gauss về tội ăn cắp ý tưởng. (Xem trong Eric W.Weissteins Biography of Gauss. Tuy nhiên, chú ý rằng Weissteins dường như xác minh khám phá của Legendres vào năm 1811.)

Năm 1809: Carl Friedrich Gauss đã chỉ ra được phân phối chuẩn là sự mô tả phân phối của những lỗi quan sát trong công trình Theoria Motus Corporum Coclestium in Sectionibus Conicis Solum Ambientum. Tuy nhiên, lý lẽ lập luận của ông hơi vòng vo.

Năm 1810: Pierre Simon Laplace người nhận ra yếu điểm trong công việc của Gauss năm 1809, đã đưa ra bản chặt chẽ và cải tiến hơn trong phần bổ sung của cuốn sách Mémoire sur les approximations des formules qui sont fonctions de très grant nombres et sur leur application aux probabilités của ông.

Năm 1812: Pierre Simon Laplace công bố công trình Théorie analytique des probabilités (Lý thuyết giải tích xác xuất).

Năm 1815: Bessel đưa ra thuật ngữ probable error (sai số có thể) (wahrscheinliche Fehler) để chỉ ra khoảng cách giữa giá trị trung bình và phân vị trong phân phối chuẩn (chính bằng 0,6745 độ lệch chuẩn). Nó là thước đo cho tính hay thay đổi mãi cho đến khi được thay thế bởi độ lệch chuẩn.

Năm 1835: Adolphe Quatelet giới thiệu trong Sur l’homme et le developpement de ses facultés, essai d’une physique sociale ý tưởng của ông về l’homme moyen (người đàn ông trung bình); ý tưởng này xuất phát từ những ai trong chúng ta chệch đi nhiều hay ít so với phân phối chuẩn. Quatelet chú trọng đến phương pháp dùng thông kê và ý tưởng này thật sự hữu ích trong thiên văn học và toán học nhằm nghiên cứu các thuộc tính của con người và trong con đường ông cải tiến xấp xỉ của mình.

Năm 1837: Một vài điều chưa rõ trong Recherchés sur la probabilité des jugements… của Simeon Denis Poisson, ông ta đã giới thiệu phân phối, mà vào năm 1914 phân phối này được H.E. Spoer đặt tên là phân phối Poisson. Poisson đưa ra “Luật số lớn”. Phân phối Poisson đạt được vị trí quan trọng vào năm 1973 khi Thomas Pynchon miêu tả phân phối tác động của tên lửa V2 trong Gravity’s Rainbow.

Năm 1867: Pafnuti Chebyshev đã đưa ra và chứng minh bất đẳng thức Chebyshev.

Năm 1875: Francis Galton giới thiệu cách sử dụng đường bậc bốn và đặt tên ogive cho hàm phân phối tích lũy chuẩn ngược.

Năm 1885: Francis Galton đã sử dụng hồi quy.

Năm 1893: Karl Pearson đặt tên độ lệch chuẩn cho độ đo phân tán, được biết đến như “Sai số bình phương trung bình so với gốc”, “Sai số của bình phương trung bình” hay “Trung bình sai số”.

Năm 1897: Karl Pearson giới thiệu hệ số tương quan (Pearson). Vào năm 1888 Galton cũng đã có cùng ý tưởng nhưng ông không theo đuổi dòng suy nghĩ này (Stigler, 1986, p. 297-299). Cái tên Auguste Bravais(1846) cũng gắn liền với khái niệm hệ số tương quan (Mối tương quan Bravais-Pearson). Nhưng theo Stigler (1986, p. 353) sự gắn liền này không xác thực.

Những vấn đề về XSTK xuất hiện trong Thế kỷ thứ 20:

Thế kỷ XX được đặc trưng bởi một số tranh luận về phương pháp luận. Đầu tiên, có một sự bất đồng trong nhìn nhận đến sở thích nghiên cứu với mức ý nghĩa tương quan lớn (Karl Pearson) hay nghiên cứu trên những thực nghiệm có mức ý nghĩa nhỏ (Ronald Fisher). Lĩnh vực nghiên cứu thực nghiệm với mức thang nhỏ đã chứng kiến sự nổi lên của một cuộc tranh luận thứ 2: H testing (Ronald Fisher) đối lập với bao gồm H và khái niệm Power(Jerzy Neyman & Egon Pearson).

Niềm tin của Spearman vào một nhân tố thông minh chung (g) mà được cho là sức mạnh ý định bên cạnh sự phát triển của nhân tố phân tích, đã dẫn đến cuộc tranh cãi kéo dài đến vài thập kỷ, với Thurstone và những nhà khoa học khác, những người dần dần đề cao nhân tố phân tích như là một cách duy nhất đơn giản hóa số liệu.

Sau chiến tranh thế giới lần thứ 2, bùng nổ các bài toán không-tham số và sự phát minh máy tính đã tạo ra khối luợng lớn khả năng thực hiện những ý tưởng mới và cũ như là mức thang đa chiều, bootstrapping và phân tích đa biến ngẫu nhiên.

Năm 1900: Karl Pearson đưa ra ý tưởng phân phối Chi bình phương.

Năm 1904: Charles Spearman dựa trên nền tảng về phân tích thừa số và hoàn thành nó trong 8 năm. Spearman biểu diễn hệ số tương quan cho vấn đề sắp xếp số liệu.

Năm 1908: William Gosset giới thiệu công trình về phân phối t và ứng dụng của phép thử t. Sự xuất hiện đầu tiên của phép thử t trong tâm lý học và những lĩnh vực liên quan đã xảy ra trước thập niên 30 của thế kỷ, nhưng Shen (1940) vẫn nhắc đến phép thử t như chưa phải là cách ứng dụng chung trong lĩnh vực giáo dục.

Năm 1925: Ronald Alymer Fisher công bố công trình Statistical methods for research workers. Đây là cuốn sách giáo khoa giới thiệu phân tích biến ngẫu nhiên.

Năm 1933: Andrei Kolmogorov đưa ra những tiên đề cơ bản của lý thuyết xác suất trong cuốn sách của ông Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung (Foundations of the Calculus of Probabilities – Tạm dịch: Nền tảng giải tích của Xác suất – M4Ps). Ông cũng giới thiệu phép thử thống kê .

Năm 1933: Harold Hotelling công bố công trình nghiên cứu về phân tích thành phần chính.

Năm 1939: Vadimir Smirnov dùng thống kê được phát triển bởi Kolmogorov để xây dựng phép thử Kolmogorov-Smirnov.

Năm 1976: Gene Glass công bố báo cáo của ông về việc kết hợp những kết quả trong của nghiên cứu đa cấp và đặt tên cho phương pháp này là meta-analysis. Mặc dù có nhiều ý tưởng đã tồn tại từ trước đó (Lush 1931, Fisher 1932, Pearson 1933, Snedecor 1946) nhưng chính Glass là người đã mang lại cho phương pháp này sự thúc đẩy để đạt được vị trí xứng đáng.

Năm 1977: John Tukey giới thiệu phân tích dữ liệu giải thích (EDA) như là thuốc giải độc cho giả thiết kiểm định tuần tự thay vì quan sát đầu tiên về số liệu

Nguồn: diendantoanhoc.org – Nguyễn Duy Tiến (st)

—————&&—————-

Xác suất

Xác suất

(Nguồn: vi.wikipedia.org)

Từ xác suất (probability) bắt nguồn từ chữ probare trong tiếng Latin và có nghĩa là “để chứng minh, để kiểm chứng”. Nói một cách đơn giản, probable là một trong nhiều từ dùng để chỉ những sự kiện hoặc kiến thức chưa chắc chắn, và thường đi kèm với các từ như “có vẻ là”, “mạo hiểm”, “may rủi”, “không chắc chắn” hay “nghi ngờ”, tùy vào ngữ cảnh. “Cơ hội” (chance), “cá cược” (odds, bet) là những từ cho khái niệm tương tự. Nếu lí thuyết cơ học (cơ học cổ điển) có định nghĩa chính xác cho “công” và “lực”, thì lí thuyết xác suất nhằm mục đích định nghĩa “khả năng”.

Mục lục 1 Các giai đoạn lịch sử 2 Khái niệm 3 Sự hình thành xác suất 3.1 Cách biểu diễn và chuyển đổi các giá trị xác suất 3.2 Sự phân bố 4 Xác suất với toán học 4.1 Những chú ý khi tính toán xác suất 5 Ứng dụng của xác suất với đời sống hàng ngày 6 Xem thêm 7 Liên kết ngoài 8 Các câu nói nổi tiếng

Các giai đoạn lịch sử

Khoa học nghiên cứu về xác suất là một phát triển trong thời kỳ cận đại. Việc chơi cờ bạc (gambling) cho chúng ta thấy rằng các ý niệm về xác suất đã có từ trước đây hàng nghìn năm, tuy nhiên các ý niệm đó được mô tả bởi toán học và sử dụng trong thực tế thì có muộn hơn rất nhiều.

Hai nhà toán học Pierre de Fermat và Blaise Pascal là những người đầu tiên đặt nền móng cho học thuyết về xác suất vào năm (1654). Christiaan Huygens (1657) được biết đến như là người đầu tiên có công trong việc đưa xác suất thành một vấn đề nghiên cứu khoa học.

Học thuyết chủ nghĩa về xác suất bắt đầu bằng những lần thư từ qua lại giữa Pierre de Fermat và Blaise Pascal (1654). Christiaan Huygens (1657) đã đưa ra những hiểu biết đầu tiên mang tính khoa học về vấn đề này. Các cuốn Ars Conjectandi của Jakob Bernoulli (sau khi chết, 1713) và Học thuyết chủ nghĩa cơ hội (Doctrine of Chances) của Abraham de Moivre (1718) đã xem xét chủ đề như một chi nhánh của ngành toán học.

Lý thuyết sai số (the theory of errors) có thể bắt đầu từ cuốn sách Opera Miscellanea của Roger Cotes (xuất bản sau khi ông mất, 1722), nhưng lí thuyết này đã được áp dụng lần đầu tiên trong một luận văn của Thomas Simpson vào năm 1755 (in vào năm 1756) trong thảo luận về sai số xảy ra trong quan sát (errors of observation). Bản in lại (1757) của luận văn này đưa ra tiên đề rằng khả năng sai số âm và dương (positive and negative errors) là ngang nhau, “và rằng có các giới hạn xác định được mà mọi sai số đều nằm trong các khoảng đó; các sai số liên tục được thảo luận và một đường cong xác suất được đưa ra” (and that there are certain assignable limits within which all errors may be supposed to fall; continuous errors are discussed and a probability curve is given).

Pierre-Simon Laplace (1774) đã thực hiện nỗ lực đầu tiên trong việc rút ra một qui luật từ việc kết hợp các quan sát từ các nguyên lí của lí thuyết xác suất. Ông đã giới thiệu định luật xác suất về sai số (the law of probability of errors) bằng một đường cong y = ϕ(x), x là một sai số bất kì và y là xác suất của lỗi đó, và đưa ra 3 thuộc tính cho đường cong này: (1) Nó là đối xứng qua trục y; (2) trục x là đường tiệm cận, xác suất của sai số là 0; (3) diện tích vùng bao phủ là 1, thì một sai số là tồn tại. Ông cũng đã rút ra một công thức từ 3 quan sát đó. Ông cũng đã đưa ra (1781) một công thức cho định luật của điều kiện của sai số (the law of facility of error) (một thuật ngữ của Lagrange, 1774), nhưng công thức này dẫn đến phương trình không thể giải quyết được. Daniel Bernoulli (1778) đã giới thiệu nguyên lí của tích cực đại của các xác suất của một hệ thống sai số đồng thời.

Phương pháp bình phương cực tiểu do Adrien-Marie Legendre (1805), giới thiệu trong cuốn Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes (Những Phương pháp mới để Xác định Quỹ đạo Sao chổi). Không biết đến đóng góp của Legendre, Robert Adrain, một tác giả Mỹ gốc Ireland, chủ bút tạp chí The Analyst (1808), lần đầu đưa ra định luật điều kiện của sai số,

c và h là các hằng số phụ thuộc vào độ chính xác của quan sát.

Ông đưa ra hai chứng minh, chứng minh thứ hai về cơ bản giống với chứng minh của John Herschel (1850). Carl Friedrich Gauss đưa ra chứng minh thứ nhất, dù chứng minh này có thể đã được biết đến ở châu Âu là chứng minh thứ ba sau Adrain, vào năm 1809. Các chứng minh tiếp theo đã được Laplace (1810, 1812), Gauss (1823), James Ivory (1825, 1826), Hagen (1837), Friedrich Bessel (1838), Donkin (1844, 1856) và Morgan Crofton (1870) đưa ra. Các tác giả khác đã đóng góp vào định luật này là Ellis (1844), Augustus De Morgan (1864), Glaisher (1872) và Giovanni Schiaparelli (1875). Công thức của Peters (1856) về r, sai số xác suất của một quan sát, rất phổ biến.

Vào thế kỷ 19 các tác giả về lý thuyết xác suất có Laplace, Sylvestre Lacroix (1816), Littrow (1833), Adolphe Quetelet (1853), Richard Dedekind (1860), Helmert (1872), Hermann Laurent (1873), Liagre, Didion và Karl Pearson. Augustus De Morgan và George Boole đã đóng góp vào việc giải thích lý thuyết xác suất.

Về mặt hình học (xem hình học giải tích) các tác giả có ảnh hưởng lớn là Miller, Crofton, McColl, Wolstenholme, Watson và Artemas Martin.

Khái niệm

Về cơ bản có một tập hợp những quy luật toán để có thể biến đổi các giá trị của xác suất; những quy luật nầy sẽ được liệt kê ra trong phần “Sự hình thành của xác suất” dưới đâỵ. (Có một số các quy luật được khác dùng để định lượng sự ngẫu nhiên như trong lý thuyết Dempster-Shafer và lý thuyết khả tạo nhưng những quy luật này thì khác biệt từ bản chất và không tương hợp với cách hiểu thông thường các định luật về xác suất. Tuy nhiên, người ta vẫn còn tranh biện về những đối tượng chính xác nào mà trên đó những quy luật này được áp dụng. Đây là đầu đề của những diễn dịch của xác suất.

Ý tưởng chung của xác suất thường được chia thành 2 khái niệm liên quan:

• Xác suất may rủi (aleatory probability), đề cập đến khả năng xảy ra của các sự kiện trong tương lai mà khả năng xảy ra của các sự kiện này phụ thuộc vào một hiện tượng vật lí nào đó mang tính ngẫu nhiên. Khái niệm này còn được chia ra thành (1) các hiện tượng vật lí, về cơ bản, có thể dự đoán được khi có đủ thông tin và (2) các hiện tượng không thể dự đoán được. Ví dụ của loại trước là việc thả một con súc sắc hay quay một bánh xe roulette; ví dụ của loại sau là sự phân rã hạt nhân.

• Xác xuất trong tri thức (epistemic probability), đề cập đến sự không chắc chắn của chúng ta về một mệnh đề nào đó vì thiếu thông tin cung cấp để suy luận. Ví dụ việc xác định khả năng một nghi phạm là có phạm tội, dựa trên các chứng cứ cung cấp.

Sự hình thành xác suất

Như các lý thuyết khác, lý thuyết xác suất là một biễu diễn của khái niệm xác suất bằng các thuật ngữ hình thức – nghĩa là các thuật ngữ mà có thể xác định một cách độc lập với ý nghĩa của nó. Các thuật ngữ hình thức này được thao tác bởi các qui luật toán học và logic, và kết quả thu được sẽ được chuyển dịch trở lại miền (domain) của bài toán.

Có hai hướng công thức hóa xác suất đã thành công là sự hình thành công thức Kolmogorov và sự hình thành công thức Cox. Trong công thức của Kolmogorov, các tập được hiểu là các sự kiện và xác suất chính là một phép đo trên một lớp các tập đó.

Trong công thức của Cox, xác suất được xem là cái cơ bản (primitive – không thể phân tích thêm được nữa) và tập trung nghiên cứu vào việc xây dựng một phép gán tốt các giá trị xác suất đến các mệnh đề. Trong cả 2 trường hợp, các định luật về xác suất là như nhau, ngoại trừ yếu tố chi tiết kĩ thuật:

1. xác suất là một giá trị số trong khoảng 0 và 1;
2. xác suất của một sự kiện hay mệnh đề và phần bù của nó cộng lại phải bằng 1; và
3. xác suất kết hợp của hai sự kiện hay hai mệnh đề là tích của các xác suất của một trong chúng và xác suất của cái thứ hai với điều kiện biết cái trước xảy ra.

Cách biểu diễn và chuyển đổi các giá trị xác suất

Xác suất của một sự kiện thương được biễu diễn bằng số thực trong khoảng 0 và 1, bao gồm 2 giá trị biên. Và một sự kiện không thể xảy ra thì có xác suất là 0, còn một sự kiện chắc chắn thì có xác suất là 1, nhưng điều ngược lại không đúng. Sự khác biệt giữa “chắc chắn” và “xác suất xảy ra 1” là rất quan trọng.

Hầu hết các giá trị xác suất xảy ra trong thực tế là giữa 0 và 1.

Sự phân bố

Một phân bố xác suất là một hàm số nhằm gán các giá trị (gọi là xác suất) cho các sự kiện. Các giá trị số này đặc trưng cho khả năng xảy ra của các sự kiện. Với một tập bất kì các sự kiện, có rất nhiều cách để gán các xác suất, và thường dựa vào sự lựa chọn loại phân bố của các sự kiện đang xem xét.

Có nhiều cách để chỉ định một phân bố xác suất. Thông thường nhất có lẽ là chỉ định một hàm mật độ xác suất (probability density function). Từ đó, xác suất của một sự kiện sẽ được bằng cách lấy tích phân hàm mật độ. Tuy nhiên, hàm phân bố cũng có thể được chỉ định rõ trực tiếp. Trong trường hợp chỉ có một biến (hay một chiều), thì hàm phân bố được gọi là hàm phân bố tích lũy (cumulative distribution function). Phân bố xác suất cũng có thể được chỉ định thông qua các giá trị mômen hay hàm đặc trưng (characteristic function), hay các cách khác nữa.

Một phân bố được gọi là phân bố rời rạc nếu nó được định ra trên một tập rời rạc, đếm được; ví dụ tập các số nguyên.

Một phân bố được gọi là phân bố liên tục nếu nó được định ra trên một tập vô hạn, không đếm được.

Hầu hết các phân bố trong các ứng dụng thực tế đều hoặc là một trong hai, nhưng có một số ví dụ về phân bố bao gồm của cả 2, gọi là phân bố hỗn hợp.

Các phân bố rời rạc quan trọng bao gồm phân bố đồng nhất, phân bố Poisson, phân bố nhị thức, phân bố nhị thức âm và phân bố Maxwell-Boltzmann.

Các phân bố liên tục quan trọng bao gồm phân bố chuẩn (hay còn gọi là phân bố Gauss), phân bố gamma, phân bố-t của Student (Student’s t-distribution), và phân bố hàm mũ (exponential distribution).

Xác suất với toán học

Tiên đề xác suất tạo thành nền tảng cho lý thuyết xác suất. Việc tính toán các xác suất thường dựa vào phép tổ hợp hoặc áp dụng trực tiếp các tiên đề. Các ứng dụng xác suất bao gồm thống kê, nó dựa vào ý tưởng phân bố xác suất và định lý giới hạn trung tâm.

Để minh họa, ta xem việc tung một đồng xu cân đối. Về mặt trực quan, xác suất để head xuất hiện phía trên là 50%; nhưng phát biểu này thiếu tính toán học – Vậy con số 50% có ý nghĩa thực sự thế nào trong ví dụ này?

Một hướng là dùng định luật số lớn. Giả sử là ta thực hiện một số lần gieo đồng xu, với mỗi lần gieo là độc lập nhau – nghĩa là, kết quả của 2 lần gieo khác nhau là độc lập nhau. Nếu ta tiến hành N lần gieo (trials), và đặt N_H là số lần mà mặt head xuất hiện, thì với tỉ lệ N_H/N.

Khi số lần gieo N trở nên lớn, ta kì vọng rằng tỉ lệ N_H/N sẽ tiến gần hơn đến giá trị 1/2. Điều này cho phép ta định nghĩa xác suất Pr(H) của mặt head xuất hiện là giới hạn, khi N tiến ra vô cùng, của chuỗi các tỉ lệ này:

Trong thực tế, dĩ nhiên ta không thể tiến hành vô hạn lần các lần gieo được; vì thế, nói chung công thức này áp dụng chính xác cho tình huống khi mà chúng ta biết được một xác suất cho sắn (a priori) cho một kết quả đầu ra nào đó (mà trong ví dụ này là thông tin đồng xu cân đối). Khi đó, định luật số lớn phát biểu rằng, khi cho biết Pr(H), và với một số nhỏ bất kì ε, luôn tồn tại một giá trị n sao cho với mọi N > n,

<img src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/vi/math/a/1/a/a1a9ac0165575e1ec6a5c6d3e9ffb94c.png&quot; alt="\left| \Pr(H) – {N_H \over N}\right|

Khía cạnh thông tin cho sẵn a priori của hướng tiếp cận này đôi khi gặp khó khăn trong thực tiễn. Ví dụ, trong với kịch Rosencrantz and Guildenstern are Dead của Tom Stoppard, một nhân vật gieo đồng xu mà luôn xuất hiện mặt head, sau 100 lần gieo. Ông ta không thể xác định đây là sự kiện ngẫu nhiên hay không – vì dù sao, điều này vẫn có thể xảy ra với đồng xu cân đối (dù hiếm).

Những chú ý khi tính toán xác suất

Khó khăn trong việc tính toán xác suất nằm ở việc xác định số sự kiện có thể xảy ra (possible events): đếm số lần xuất hiện của mỗi sự kiện, và đếm số lượng sự kiện có thể xảy ra đó. Đặc biệt khó khăn trong việc rút ra một kết luận có ý nghĩa từ các xác suất tính được. Một bài toán đố thú vị, bài toán Monty Hall sẽ cho thấy điều này.

Để học thêm về cơ bản của lí thuyết xác suất, xem bài viết về tiên đề xác suất và định lý Bayes giải thích việc sử dụng xác suất có điều kiện trong trường hợp sự xuất hiện của 2 sự kiện là có liên quan nhau.

Ứng dụng của xác suất với đời sống hàng ngày

Ảnh hưởng chính của lý thuyết xác suất trong cuộc sống hằng ngày đó là việc xác định rủi ro và trong buôn bán hàng hóa. Chính phủ cũng áp dụng các phương pháp xác suất để điều tiết môi trường hay còn gọi là phân tích đường lối.

Lý thuyết trò chơi cũng dựa trên nền tảng xác suất. Một ứng dụng khác là trong xác định độ tin cậy. Nhiều sản phẩm tiêu dùng như xe hơi, đồ điện tử sử dụng lý thuyết độ tin cậy trong thiết kế sản phẩm để giảm thiểu xác suất hỏng hóc. Xác suất hư hỏng cũng gắn liền với sự bảo hành của sản phẩm.

Xem thêm

• Xác suất Bayes
• Quá trình Bernoulli
• Định lí Cox
• Lý thuyết quyết định
• Lý thuyết phép đo mờ
• Trò chơi may rủi
• Lý thuyết trò chơi
• Lý thuyết thông tin
• Định luật trung bình
• Định luật số lớn
• Lý thuyết phép đo
• Phân phối chuẩn
• Trường ngẫu nhiên
• Biến ngẫu nhiên
• Thống kê
• Quá trình ngẫu nhiên
• Quá trình Wiener

Liên kết ngoài

• A Collection of articles on Probability, many of which are accompanied by Java simulations
• Edwin Thompson Jaynes. Probability Theory: The Logic of Science. Preprint: Washington University, (1996). — HTML and PDF
• An online probability textbook which uses computer programming as a teaching aid
• Probabilistic football prediction competition, probabilistic scoring and further reading.
• “The Not So Random Coin Toss, Mathematicians Say Slight but Real Bias Toward Heads“. NPR.
• Poker Probability
• Figuring the Odds (Probability Puzzles)
• Probability and Poker
• Dictionary of the History of Ideas: Certainty in Seventeenth-Century Thought
• Dictionary of the History of Ideas: Certainty since the Seventeenth Century

Các câu nói nổi tiếng

• Damon Runyon, “It may be that the race is not always to the swift, nor the battle to the strong – but that is the way to bet.”
• Pierre-Simon Laplace “It is remarkable that a science which began with the consideration of games of chance should have become the most important object of human knowledge.” Théorie Analytique des Probabilités, 1812.
• Richard von Mises “The unlimited extension of the validity of the exact sciences was a characteristic feature of the exaggerated rationalism of the eighteenth century” (in reference to Laplace). Probability, Statistics, and Truth, p 9. Dover edition, 1981 (republication of second English edition, 1957).

—————–&&—————–