Ứng dụng Toán – Biết rồi còn nói mãi!!!

Ứng dụng Toán – Biết rồi còn nói mãi!!!

(Nguồn: http://www.vietsam.org.vn)

1. Toán thật lãng phí?

Lâu nay không ít người cảm thấy thất vọng vì đã  “uổng công” học Toán. Nghe người ta nói thì  Toán học là “chìa khóa” cho mọi vấn đề, nhưng trên thực tế thì học sinh sau khi tốt nghiệp lại chẳng biết dùng kiến thức Toán đã học được trong nhà trường vào việc gì trong cuộc sống. Toán học đã bị biến thành một “công cụ đánh đố”, thay vì một bộ môn khoa học mang đầy chất thực tiễn. Đã có những ý kiến nói về sự lãng phí của nguồn nhân lực đang làm Toán hiện nay và không ít người cũng đã tưởng là thật…

Thực ra Toán học đứng ở ngay đằng sau những gì  đang diễn ra hàng ngày, ở chính những nơi được xem là “điểm chốt” của cuộc cách mạng công nghệ hiện nay. Sở dĩ ở nước ta mọi người không nhìn thấy là vì chúng ta chưa “vào cuộc”.

2. Ứng dụng toán là dễ hay khó?

Có một thời người ta tưởng rằng làm Toán ứng dụng dễ hơn làm Toán lý thuyết, vì làm lý  thuyết phải nghĩ ra cái mới còn làm ứng dụng chỉ cần biết “tiêu hóa” những điều  đã biết. Trên thực tế, những người đã có ít nhiều kinh nghiệm đều biết rằng đây là lĩnh vực “nói thì dễ mà làm thì khó”. Ở nước ta thì phần “nói” thì đã được triển khai từ lâu rồi, còn phần “làm” thì hầu như “còn nguyên”! Vì sao?

Toán ngày nay không “đi trực tiếp”  được vào thực tiễn

Đã qua rồi thời kỳ của những ứng dụng toán học tuần túy, theo kiểu chỉ cần biết đến toán là xong… Toán học ngày nay không mấy khi “đi thẳng” được vào thực tiễn, mà thường phải “ăn theo” một số công nghệ khác, cho nên người làm ứng dụng toán phải có khả năng tiếp cận các công nghệ mới (công nghệ phần mềm, công nghệ tính toán hiệu năng cao, điện tử, tự động hóa, số hóa,…). Thêm nữa, muốn ứng dụng toán học vào lĩnh vực nào thì phải có hiểu biết đủ tốt về lĩnh vực đó (xử lý hình ảnh, âm thanh, môi trường, sinh thái…) và cũng có nghĩa là phải học thêm một ngành mới ngoài toán. Đây chính là những điều mà phần lớn những người làm toán ngại nhất.

Từ  “Toán lý thuyết” đến “Toán ứng dụng được” là một quãng đường dài

Phần lớn những người làm toán lý thuyết chưa nhìn thấy những khó khăn đặc thù của công tác ứng dụng. Ví dụ, không ít người tưởng rằng đó chỉ đơn thuần là việc áp dụng những kết quả có sẵn trong lý thuyết vào việc giải quyết một vấn đề gì đó đặt ra trong thực tiễn, mà không biết rằng cái kết quả lý thuyết ấy chỉ là cái “phần nổi của tảng băng chìm”. Hãy lấy hệ mật mã RSA làm ví dụ. Không ít người cho rằng chỉ cần biết về tính “bất khả ngược” của phép nhân hai số nguyên tố lớn là đủ để thiết lập được hệ mã RSA. Tuy nhiên, nếu là người “trong nghề” làm mật mã thì biết rằng có bao nhiêu cạm bẫy giăng ra xung quanh hệ mã đó và chỉ cần một chút sơ suất nhỏ là đủ dẫn đến thiệt hại vô cùng lớn (Điều này đã được nhiều nhà mật mã trên thế giới nói đến). Đây là nguyên nhân khiến cho việc mã hóa theo sơ đồ lý thuyết chỉ mang tính hình thức, còn để triển khai vào thực tiễn người ta phải dày công nghiên cứu ra những lược đồ khác hẳn. Ta hiểu vì sao chính những nhà toán học được xem là “chuyên gia lão luyện” về Toán trong mật mã (như Koblitz, Menezes…) đã dùng thuật ngữ “lược đồ sách vở” (text book scheme) để chỉ những lược đồ mã hóa trong sách giáo khoa. Như vậy, ở đây ta cũng gặp tình huống giống như trong nhiều lĩnh vực khác, như Giải tích Fourier hay Đại số tuyến tính: Cơ sở lý thuyết của Giải tích Fourier có thể được trình bày trong khuôn khổ một chương của giáo trình Giải tích Toán học, nhưng để ứng dụng được thì người ta cần tới phép Biến đổi Fourier nhanh mà việc trình bày có thể cần cả một cuốn sách dày hơn cả giáo trình Giải tích Toán học. Tương tự như vậy, giáo trình Đại số tuyến tính (bậc đại học) có thể dễ dàng “nuốt trôi” trong một học kỳ, nhưng khi vào thực tế thì sẽ thấy rằng chỉ riêng một góc “phương trình tuyến tính cỡ lớn” cũng đủ để mà “vật lộn” cả năm trời không hết. Tóm lại, từ cái Toán “lý thuyết” trong sách giáo khoa đến cái Toán “dùng được” trong thực tiễn là còn cả một con đường dài.

Toán  ứng dụng mang tính “liên ngành”

Để làm lý thuyết, thông thường người ta chỉ cần biết về chuyên ngành hẹp mà mình nghiên cứu, còn để làm ứng dụng thì phải có tầm hiểu biết đủ sâu về chuyên ngành rộng. Điều này cũng được thể hiện rất rõ trong lĩnh vực mật mã. Ít khi người làm về lý thuyết số và hình học đại số  phải đọc để biết về hàm Bull, về xác suất thống kê… Nhưng muốn ứng dụng được các thành tựu của lý thuyết số và hình học đại số vào lý thuyết mật mã phi đối xứng thì không thể không biết các lĩnh vực này. Có thể nói rằng, cái khó trong việc nắm bắt cho đủ kiến thực để làm ứng dụng không hề thua kém cái khó trong việc tìm ra cái mới (có ý nghĩa thực sự) đối với người làm lý thuyết.

Làm ứng dụng toán cần có “vốn thực tiễn”

Muốn  ứng dụng Toán vào lĩnh vực nào thì phải có “vốn sống” về lĩnh vực đó (Tốn công vô kể!). Ví dụ:

Để làm các ứng dụng về Máy chấm thi trắc nghiệm phải “nghiền” cho hết các quy định của Bộ GD-DDT về công tác khảo thí và kiểm định chất lượng, không thua kém các chuyên viên về “khảo thí” của Bộ;

Để làm ra các sản phẩm về an toàn thông tin phải đọc hàng ngàn trang về các loại Tiêu chuẩn về mã hóa thông tin (CA, Tem thời gian, các giao thức mật mã, các kỹ thuật thám mã…) của cả ta lẫn Tây;

Để tiếp cận với các giải pháp bảo mật thông tin trong hệ thống Thu phí điện tử thì phải bỏ ra nhiều tháng trời để mà “đánh vật” với hàng ngàn trang tài liệu về các loại “chuẩn mực” trong hệ thống Giao thông thông minh (ITS).

3. Những quan niệm còn “vênh” thực tế

Triển khai ứng dụng có gì  là “mới”?

Trong mấy năm gần đây người ta mắc bệnh hô hào đi tìm “cái mới” (bằng mọi giá!), khiến cho “lực lượng chủ lực” của ta không quan tâm đúng mức đến vấn đề nghiên cứu triển khai (vì còn phải lo sao tìm cho ra “cái mới”, cho dù chả mấy khi biết dùng để làm gì). Điều này lý giải vì sao lực lượng của ta thì “ngày càng mạnh”, mà khả năng đóng góp cho cho cuộc sống hiện tại của đất nước vẫn cứ “ngày ngày khiêm tốn”!

Những người làm thực tiễn thì biết rằng công tác nghiên cứu triển khai luôn được xem là “vấn đề mở” (vì các giải pháp triển khai cụ thể không mấy khi được công bố). Cho nên, bản thân khái niệm “nghiên cứu triển khai” tự nó đã bao hàm tính “mới”, vì chẳng có hai phương án triển khai nào giống nhau (không nên lẫn lộn giữa triển khai và sao chép!). Điều này thấy rõ không chỉ qua việc làm tàu bay, tên lửa của Nga, Mỹ, Trung Quốc,… mà ngay cả trong việc canh tác của bác nông dân, khi mỗi năm lại phải đương đầu với một hoàn cảnh éo le mới. Tiếc thay, tính “mới” của công tác triển khai ở ta vẫn chưa được đánh giá ở mức xứng tầm. Cho nên, lực lượng chủ lực của ta mới chỉ là “lực lượng sản xuất” trên giấy!

Ai làm lý thuyết? Ai làm ứng dụng?

Ở bên Tây, một học sinh sau khi tốt nghiệp đại học thì thường nghĩ ngay đến việc phải kiếm một việc làm, còn ai chưa kiếm được việc thì tính chuyện đi học thêm một ít nữa. Ở nước ta thì ngược lại, một học sinh sau khi tốt nghiệp thường lo ngay chuyên học tiếp lên nữa, còn ai không có điều kiện học tiếp lên nữa thì mới lo kiếm việc làm. Thực tế cho thấy, những thanh niên bên Tây không hề bị “lùn” kiến thức nếu như họ đi làm ngay sau khi tốt nghiệp, mà ngược lại công việc sẽ giúp cho họ có điều kiện mở rộng hơn tầm hiểu biết của mình. Trong khi đó, ở nước ta những người có điều kiện học lên cao hơn (sau đại học) cũng thường là “lóng ngóng” hơn khi tiếp cận với công việc trong thực tế. Điều khôi hài là hiện nay (ở nước ta) những người “học nhiều mà ngọng việc” lại luôn được đánh giá cao hơn những người ‘học ít nhưng thạo việc”, chỉ vì họ có bằng cấp cao hơn. Điều nghịch lý này rất giống với những gì đang xảy ra trong “làng Toán” nước nhà, với quan niệm cho rằng một khi không thể làm toán lý thuyết thì nên chuyển sang làm ứng dụng. Những phân tích ở trên cho thấy điều này chỉ là “ảo tưởng”. Một cách nghĩ “thực tế” thì có lẽ phải là thế này: Nếu như ai thấy ngại làm ứng dụng Toán thì hãy đi làm Toán lý thuyết.

Làm  ứng dụng Toán sẽ phải chấp nhận sự thua thiệt về nhiều mặt, kể cả tiền tài lẫn danh vị. Một cộng sự của tôi vì mải mê với công việc nên không có lúc nào để mà hoàn tất các thủ tục làm một ông Tiến sĩ. Tôi dám chắc rằng về nghiệp vụ chuyên môn anh ta hơn hẳn các ông Tiến sĩ, nhưng tôi không thể bổ nhiệm anh ta làm Trưởng phòng nghiên cứu triển khai (chỉ vì anh ta chưa có bằng Tiến sĩ!).

4. Làm ứng dụng cần một  “phong cách” riêng

Có  nhất thiết phải “hướng ngoại”  một cách toàn diện

Vì  bản chất của Toán học là “không biên giới”, cho nên những người làm Toán lý thuyết ở ta xem việc “hướng ngoại toàn diện” là điều hiển nhiên. Khỏi phải bàn về tác dụng tích cực của trào lưu này đối với nền toán học nước ta trong những năm vừa qua. Với người làm ứng dụng thì việc “hướng ngoại” để học theo cũng là việc không có gì lạ. Tuy nhiên, điều đáng nói là không ít người (thuộc lớp “cây đa cây đề” trong làng Toán) lại có cái ảo tưởng rằng chỉ cần sang Tây mà học làm ứng dụng là xong, và vì thế chỉ lo “tâm huyết” với cái việc tìm cách cho người sang Tây học, mà xem thường công tác đào tạo, huấn luyện ở trong nước. Thực tế cho đến nay, đã qua hơn chục năm có lẻ, những người đi theo trào lưu “hướng ngoại” học làm ứng dụng thì hoặc là ở lại làm việc cho Tây, hoặc là về nước “làm ứng dụng một cách lý thuyết”, tức là vẫn “học, học nữa, học mãi…” mà chưa thấy làm. Thực ra, với người làm ứng dụng thì việc “học để biết” mới chỉ là một phần nhỏ, còn yếu tố quyết định là phải khả năng “nhúng mình” vào thực tế. Mà thực tế của Tây thường chẳng giống ở ta!

Những “hạt sạn” trong các công trình ứng dụng

Tình trạng phổ biến hiện nay là bài vở của những người làm ứng dụng thường không tránh được những “hạt sạn”, khiến cho chúng không được “trơn tru” như các công trình lý thuyết thuần túy. Những người làm Toán già dặn vốn thích sự “hoàn mỹ” và thường cảm thấy gai mắt khi bắt gặp những lỗi này. Nhưng xét cho kỹ thì thấy rằng đây một “đặc thù nghề nghiệp”, khó tránh khỏi ngay cả với những bậc thiên tài (hãy nhớ lại Newton đã từng bị Berkely chỉ trích như thế nào về tính thiếu “chặt chẽ Toán học” khi cho ra khái niệm “vô cùng bé”, còn Bernoullis J. đã phải tốn bao công sức để hiểu và trình bày lại các ý tưởng của Leibnitz về phép tính tích phân). Nói như vậy không có nghĩa rằng người làm ứng dụng không quan tâm đến tính chỉnh chu, chặt chẽ của một công trình khoa học, mà chỉ có nghĩa rằng đây là một nét “đặc thù nghệ nghiệp” cần được hoàn thiện về lâu dài. Thiết nghĩ, một người làm toán lý thuyết có kinh nghiệm thì không nên tìm cách “bắt bẻ” những sai sót nho nhỏ này, mà nên kiên nhẫn để hiểu ra “cái đúng về bản chất” đứng đằng sau cái “sai sót về hình thức trình bày” và giúp đỡ để làm cho nó trở nên sáng tỏ (như Berkely và Bernoullis đã từng làm đối với Newton và Leibnitz).

Những “bất đồng ngôn ngữ” giữa  ứng dụng và lý thuyết

Những người làm lý thuyết luôn đề cao sự “trong sáng” và “nhất quán” của các khái niệm. Đấy là một điều hay. Nhưng một khi “tuyệt đối hóa” chúng một cách thái quá, đến mức muốn áp đặt người khác cũng phải hiểu theo cách của mình thì lại là điều không cần thiết. Xin đơn cử một vài ví dụ đã xảy ra trong thực tế.

Người làm thực tế vẫn thường dùng thuật ngữ “một chiều” để chỉ những “mô hình” diễn ra trong không gian (hay mặt phẳng) nhưng chỉ biến thiên theo một tọa độ (theo các hướng còn lại là không thay đổi). Nhưng người làm lý thuyết thì khi nghe tới chữ “một chiều” thì đã vội nghĩ ngay đến cái đường thẳng thực, và không chịu nghe tiếp những gì không đi theo quan niệm này.

Cùng nghiên cứu về chuyển động của chất lỏng, nhưng người làm cơ học (hay là toán ứng dụng) thì xem những điểm xoáy giữa dòng nước là “điểm trong” (vì nó ở bên trong lòng chất lỏng theo ngôn ngữ đời thường), còn người làm toán lý thuyết thì xem là “điểm biên” (vì tại đó hàm không xác định, cho nên nó phải là điểm biên của tập xác đinh, theo nghĩa tô pô). Sự bất đồng tưởng như “cỏn con” này cũng cần đến mấy buổi thảo luận mới có thể “hòa giải” được.

Không ít người làm lý thuyết xem các “định lý”, “mệnh đề”,… như là những linh hồn của một công trình Toán học. Bởi vậy, không ít “giáo sư có hạng” khi ngó vào một công trình làm ứng dụng, nơi mà kết quả thể hiện thường không gói gọn trong các định lý, mệnh đề,… mà là những giải pháp, thuật toán,… thì họ “phán xét” rằng là “chẳng có kết quả gì”. Cũng may mà cụ Euclid không sinh ra ở thời nay, nếu không thì cái thuật toán thuộc hàng “hay nhất mọi thời đại” của cụ về tìm ước chung lớn nhất sẽ bị các giáo sư này xem chẳng ra cái gì.

Sự  “bất đồng ngôn ngữ” là một điều hết sức bình thường trong cuộc sống, và cần giải quyết bằng việc tìm hiểu cho “ra nghĩa”, và sau đó là sự tôn trọng “ngôn từ” của nhau. Không nên áp đặt, và càng không nên “chụp” cho cái mũ “sai về cơ bản!”, nhất là đối với những nghiên cứu sinh còn “ngây thơ” trong nghề nghiệp, để tránh làm “chột” những cái “mầm thực tiễn” đang hình thành le lói.

5. Bài toán “đầu tiên” của người làm ứng dụng Toán

Có  một điều khác biệt cơ bản giữa người làm Toán lý thuyết và người làm Toán ứng dụng nước ta hiện nay là ở chỗ tìm kiếm nguồn kinh phí cho sự tồn tại của mình. Người làm Toán lý thuyết thì tìm kiếm các nguồn tài trợ ở nước ngoài, còn người làm Toán ứng dụng thì tìm ở trong thực tiễn công việc ngay trong nước. Với người chuyên tâm làm lý thuyết thì người ta có thể khuyên rằng, trong hoàn cảnh hiện nay, cứ chịu khó học hành và nghiên cứu trong vài năm, làm ra vài ba bài báo thì cầm chắc sẽ kiếm được chuyến đi làm việc ở nước ngoài, và sẽ dành được một ít tiền để tiếp tục làm việc. Với việc làm Toán ứng dụng thì không ít người sẽ tưởng rằng làm toán ứng dụng để ra tiền lo cho cuộc sống trước mắt. Nhưng thực tế lại không như vậy. Để trau dồi được vốn kiến thức “hành nghề” trong lĩnh vực Toán ứng dụng thì một cán bộ trẻ phải tốn khoảng 4-5 năm lao động miệt mài. Trong khoảng thời gian ấy họ lấy tiền đâu mà sống? Với những người may mắn được làm công chức nhà nước thì lương của họ cũng chỉ đủ trang trải cho khoảng 1/3 nhu cầu tối thiểu tiêu dùng hàng ngày, liệu họ có đủ kiên tâm nhịn đói để mà trau dồi cho đủ kiến thức?

Trong hoàn cảnh hiện nay, một người biết làm toán ở mức khả dĩ nếu muốn có cái để “ăn ngay” thì nên đi làm Toán lý thuyết. Nhìn ra thế giới, có khá nhiều nước mà nền Toán học lý thuyết vượt xa chúng ta, nhưng mãi vẫn không phát triển được ứng dụng Toán học sao cho xứng tầm, chỉ vì nó không mang lại lợi nhuận tức thì. Chỉ cần xem người Nga, người Mỹ,… đầu tư nhân lực và tiền của cho lĩnh vực này như thế nào thì biết ngay rằng làm Toán ứng dụng là không thể tính đến chuyện “ăn sổi”.

Tóm lại, làm Toán ứng dụng cũng là một cái “nghiệp”, những ai đã vướng vào thì gắng mà làm vậy. Đấy là những người không hy vọng kiếm ra tiền từ việc làm Toán ứng dụng, mà đang nuôi hy vọng kiếm được tiền để mà làm Toán ứng dụng! Như vậy, bài toán đầu tiên của người làm ứng dụng Toán vẫn là “tiền đâu?”, tức là phải tìm ra nguồn kinh phí để mà làm Toán ứng dụng.

6. “Bao giờ cho đến công bằng?”

Thoạt  đầu người ta tưởng rằng cái khó nhất đối với làm ứng dụng là ở chỗ kinh tế  thị trường nghiệt ngã đòi hỏi các sản phẩm  ứng dụng phải “chạy thực”, mang lại hiệu quả kinh tế rõ rệt rồi mới có tiền. Khi “nhúng” vào thực tế thì mới biết rằng đây không phải là vấn đề khó nhất. Nên nhớ rằng với “thị trường có định hướng” thì còn một vấn đề nữa cần phải giải quyết là phải xác định rõ mục tiêu mang lại hiệu quả cho đối tượng nào? (chứ không chỉ đơn thuần là hiệu quả về phương diện sản xuất nói chung, kiểu như năng suất tăng, chi phí thấp, giá thành sản phẩm hạ,v.v…). Chả thế mà có những sản phẩm có thể thay thế được hàng nhập ngoại, với tính năng tốt hơn và giá thành thấp hơn (nhiều lần), nhưng vẫn không sao “chen” được vào thực tiễn…

Cái khó khăn lớn nhất của những người ôm mộng làm ra những sản phẩm “thay thế hạng nhập ngoại”  không phải là việc làm các sản phẩm đó, mà  là phải “vật nhau” với các hãng nước ngoài đang kinh doanh những mặt hàng đó. Đây là  một cuộc chiến không cân sức, đặc biệt là với những người làm toán, khi một bên là những chàng “châu chấu” vốn “èo ợt” về tiềm lực kinh tế, còn một bên là con “voi” về tiền bạc với các chiêu “vận động hành lang” rất “chuyên nghiệp”. Ấy là chưa nói đến những con “khủng long” đang nắm trong tay những khoản tiền cho vay ODA mà các quan chức tài chính nước nhà cũng phải “ngả mũ”.

Nói chung, những bài toán lớn thường liên quan đến những vấn đề mang tính “vĩ mô”, và lợi  ích mà nó mang lại là thường là cho cộng đồng, cho Nhà nước. Tiếc thay, khái niệm “lợi ích cộng đồng” hay “lợi ích Quốc gia” chẳng mấy khi được “interpreted” một cách đúng đắn trong các “hàm mục tiêu” của những bài toán thực tiễn. Bởi vậy mới hay phát sinh “nghịch lý”. Nổi bật là:
Sản phẩm ngoại: giá cao đến mấy vẫn được xem là sự “đương nhiên”!
Sản phẩm nội: giá thấp  đến mấy vẫn bị xem là  cao (vì bị “căn” theo mức lương chết đói).
Giải pháp thiết lập máy chấm thi trắc nghiệm bằng PC và  máy quét.Công nghệ mới + Giá thành hạ“THUA”Công nghệ lỗi thời + Giá thành cao
Giải pháp điều hành Hệ  thống Giao thông thông minh và Thu phí điện tử (ETC) .

7. Cần một sự định hướng phù hợp của Nhà nước

Phát triển “cân đối” giữa lý thuyết và ứng dụng. 

Không nên nghĩ đến việc vận động những người đang làm Toán lý thuyết hôm nay quay sang với ứng dụng.
Ai cũng biết rằng muốn có ứng dụng thì phải có lý thuyết, vì lý thuyết có thể xem như động lực của ứng dụng. Điều mong đợi của chúng ta là lý thuyết và ứng dụng cần phải đi gần nhau để mà bổ trợ cho nhau, như hai chân cùng bước trên con đường dài.
Một khi lý thuyết đã tiến lên một bước thì hãy làm trụ cho ứng dụng dựa vào để làm bước tiếp theo. Đến lượt mình, Toán ứng dụng sẽ lại góp phần tạo đà cho bước tiến mới của Toán lý thuyết, như ta đã nhiều lần chứng kiến trong lịch sử phát triển của Toán học. Để cho lực lượng làm ứng dụng tiến kịp lực lượng làm lý thuyết hiện nay cần có một cơ chế và chính sách thích hợp.


Phát triển ứng dụng có  trọng tâmTrong một thời gian tương đối ngắn, muốn cho lực lượng ứng dụng Toán ở nước ta có thể tiến kịp đội ngũ Toán lý thuyết ngày hôm nay thì không có cách nào khác là phải có được sự quan tâm thực sự của Nhà nước, thông qua các chính sách và cơ chế phù hợp.
Trong khi chưa thể có được giải pháp thúc đẩy phát triển ứng dụng một cách toàn diện, nên chăng nghĩ đến một giải pháp cục bộ đối với một số lĩnh vực đặc biệt, nơi mà nhu cầu thực tiễn và tiềm lực cán bộ của ta đã khá rõ ràng. Nếu có những đề tài trọng điểm về Ứng dụng Toán thu hút được sự quan tâm của các nhà toán học hàng đầu trong nước về lĩnh vực này, để họ không phải lo đi tìm các nguồn tài trợ đâu đó bên ngoài nước, thì chắc chắn chúng ta sẽ có những bước tiến ngoạn mục với các ứng dụng thiết thực vào thực tiễn của đất nước.
Một “bài học cũ” lại vừa mới diễn ra hôm nay với “bài toán vân tay”. Nếu như cách đây vài năm chúng ta chịu đầu tư cho việc phát triển công nghệ này một cách nghiêm túc (với chi phí chắc chỉ khoảng vài trăm ngàn đô la Mỹ) thì bây giờ, khi tiến hành làm chứng minh thư mới, chúng ta đã không phải chịu cảnh dương mắt ngồi nhìn các doanh nghiệp trong nước “chạy đôn chạy đáo” đi tìm các giải pháp từ nước ngoài, với chi phí lên tới nhiều triệu đô la Mỹ.

Cần một cơ chế đánh giá  phù hợp cho các công trình triển khai ứng dụngChính tiêu chí lấy “đầu bài đăng” để đánh giá kết quả hoạt động đã đem lại hậu quả tất yếu là những công trình “SPAM” thì ngày càng nhiều, mà người dám dấn thân vào ứng dụng thì ngày càng ít. Cái “thước đo hình thức” trong việc phong chức danh khoa học hiện nay là không phù hợp với những người chuyên tâm làm ứng dụng, vì họ không “chạy theo bài báo” đăng trên tạp chí, mà “chạy theo sản phẩm” dùng được vào thực tiễn. Bởi vậy, việc chấp nhận đi vào con đường triển khai ứng dụng cũng là đồng nghĩa với việc chấp nhận đứng ngoài sự vinh danh (hay công nhận) của Nhà nước.
Có  lẽ đã đến lúc phải nhận thấy rằng một công trình nghiên cứu triển khai mà được ứng dụng vào thực tiễn thì không thể bị đánh giá thấp hơn một công trình lý thuyết đăng trên báo. Hơn thế,  một giải pháp đơn giản về Toán học mà mang lại hiệu quả lớn trong thực tế thì cũng cần được đánh giá như việc giải quyết một vấn đề khó trong lý thuyết.

Tóm lại, để có thể khuyến khích người ta mạnh dạn dấn thân vào con đường nghiên cứu triển khai ứng dụng, cần có một “thước đo” riêng cho họ, mà không nên áp dụng một cách khiên cưỡng các chuẩn mực của những người làm lý thuyết.
Cần có giải pháp thực tế trong việc xây dựng lực lượngSự  “vô dụng” của Toán (ở ta) hôm nay phản ánh một sự thật là chúng ta chưa biết cách đem nó vào cuộc sống. Có lẽ còn xa mới đến ngày các trường ở ta (cả phổ thông lẫn đại học) mới biết cách dạy Toán theo phong cách gắn Toán học với thực tiễn. Một giải pháp khắc phục tình trạng này là đào tạo bổ sung các kiến thức về ứng dụng thực tiễn cho các cử nhân Toán. Hãy cứ để cho các sinh viên yêu Toán đến với nghề làm Toán ngay sau khi tốt nghiệp (họ sẽ đến với các viện nghiên cứu, các trường đại học,…).
Tuy nhiên, con số này chẳng đáng là bao, số còn lại đang vất vưởng với các ngành nghề “tay trái”, hoặc thậm tệ hơn là chẳng biết làm gì. Đây chính là đối tượng mà Nhà nước cần quan tâm để tận dụng cái tiềm năng kiến thức Toán học của họ.
Trong khi mải hô hào, khuyến khích dạy nghề cho những người “thất học” và luôn mồm kêu ca về trình độ lao động thấp, thì người ta đã quên bẵng đi một lực lượng sản xuất đầy tiềm năng sinh lợi lớn, đó là những sinh viên ngành Toán chưa có việc làm. Như đã nói, Toán không thể trực tiếp đi thẳng vào thực tiễn, cho nên cần phải tạo cho họ một cơ hội tiếp cận với thực tiễn qua một năm học nghề (hay nói cho ‘hoa mỹ” hơn thì gọi là học “văn bằng hai”). Tại đây họ sẽ được đào tạo về Toán trong Kinh tế, Tài chính, Công ghiệp, Xử lý thông tin,v.v… nơi đang “khát” nguồn nhân lực như họ.

Mở  đường vào thực tiễn bằng việc trả lại công bằng cho “sản phẩm nội”

Ngoài việc hỗ trợ cho nghiên cứu ứng dụng, Nhà  nước còn cần phải quan tâm đến việc “mở  đường” cho các ứng dụng này đến với thực tiễn.
Như  đã thấy, khó khăn lớn nhất hiện nay không xuất phát từ chỗ lực lượng ta còn yếu, hay tiền ta không đủ cho đầu tư ban đầu, mà là ở chỗ không có được sự bảo đảm để cho việc đầu tư này không bị “nghiền nát” trong bối cảnh một nền kinh tế vẫn còn những mảng “không chịu tuân theo quy luật thị trường” (như đã nêu ở phần trên), đặc biệt là trước sự cạnh tranh không công bằng với các công ty nước ngoài với bộ máy “vận động hành lang” hùng hậu cùng các nguồn tài chính khổng lồ với các “điều kiện cho vay” mang tính áp đặt.Vì  vậy, người làm Toán ứng dụng hôm nay cần trước hết là sự  công bằng!


  • Kết luận và đề xuất

 

Việc nêu ra những nét đặc thù của công tác nghiên cứu triển khai ứng dụng không nhằm đối lập toán ứng dụng và toán lý thuyết, vì ranh giới giữa chúng quả thực rất mong manh. Chỉ trong sự thống nhất của chúng thì chúng ta mới hy vọng có được những ứng dụng với hàm lượng toán học cao hơn, và mặt khác làm cho các ứng dụng toán trở nên phong phú hơn. Điều cần thiết trong lúc này là những người làm toán lý thuyết cần nhận rõ nét đặc thù của công tác triển khai ứng dụng để có thể hỗ trợ và giúp đỡ cho nó tiến kịp với trình độ chung của Toán học nước nhà.

Do lực lượng của chúng ta còn mỏng, công việc triển khai ứng dụng sắp tới cần tránh dàn trải và nên tập trung vào một số vấn đề trọng điểm của tính toán khoa học (như dự báo thiên tai khí tượng, nghiên cứu hiện tượng biến đổi khí hậu,…), tính toán khai thác hợp lý tài nguyên thiên nhiên (nước, dầu hoả, khí đốt, vv…), tính toán lan truyền ô nhiễm (dầu tràn, chất thải công nghiệp, rò rỉ hạt nhân,vv…), tính toán mô phỏng vật liệu mới và hoàn thiện những vật liệu đã biết, tính toán dự báo nhu cầu thị trường cho các sản phẩm xuất khẩu chủ lực của nước nhà (trong nông nghiệp, lâm nghiệp, ngư nghiệp,vv…), nghiên cứu các giải pháp xử lý thông tin, các hệ thống nhúng, các hệ thống điều khiển, và đưa ra các giải pháp công nghệ mới thay thế hàng nhập ngoại, nhằm hạn chế nhập siêu và đặc biệt là tránh nguy cơ trở thành “bãi thải” các công nghệ lỗi thời,…

Để làm được điều đó phải tổ chức ngay những seminar học thuật và phân công anh em, một mặt đọc tài liệu và thuyết trình những vấn đề liên quan được thế giới quan tâm và nghiên cứu, và mặt khác tiếp cận với thực tiễn trong nước để nắm bắt nhu cầu và môi trường triển khai của nước mình. Người làm ứng dụng phải được trang bị nhiều kiến thức hơn để giải những bài toán mới mà xã hội cần, chứ không phải đi tìm những bài toán giải được bằng những kiến thức đã có của mình.
———————————————————

PHẠM HUY ĐIỂN
Viện Khoa học và Công nghệ  Việt Nam
PHẠM KỲ ANH
Đại học Quốc gia Hà Nội
————&&&————

Ứng dụng toán học cho đời sống

Ứng dụng toán học cho đời sống

(Nguồn: http://vietbao.vn)

Sự thần diệu của toán

Người ta hay chia toán học thành hai nhánh lớn: toán thuần tuý và toán ứng dụng. Nói gọn, toán thuần tuý gồm những nghiên cứu được thúc đẩy bởi, hay gợi cảm hứng từ những yêu cầu nội tại hay vẻ đẹp của ngành, không quan tâm tới những ứng dụng của nó. Chẳng hạn như các vấn đề thuộc logic học, nhiều bài toán số học, đại số học hay hình học… Khác với hình học, nghiên cứu những đường cong, hình thể cụ thể, môn tôpô học nghiên cứu những tính chất bất biến của các hình thể đó khi ta làm biến dạng chúng một cách liên tục (như khi co kéo một mảnh cao su nhưng không bứt nó thành hai mảnh). Đó là những nghiên cứu có thể coi là thuộc về toán thuần tuý.
Song, điều không còn làm các nhà khoa học bất ngờ là những nghiên cứu toán thuần tuý rất nhiều khi có ứng dụng trong các ngành khoa học khác và trong công nghệ. Tôpô học góp phần tìm hiểu hình thể của vũ trụ, và cũng được sử dụng trong các nghiên cứu về cơ học chất lỏng, về các dòng chảy của khí chung quanh máy bay đang bay hay xe hơi đang chạy… Bài viết nổi tiếng của nhà vật lý học Eugène Wigner (giải Nobel năm 1963) mang nhan đề The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences (Tính hiệu quả phi lý của toán học trong các khoa học tự nhiên), đăng trên tạp chí Communications in pure and applied mathematics năm 1960, đưa ra nhiều ví dụ minh chứng cho sự thần diệu ấy.
Chào mừng Ngô Bảo Châu được giải Fields, giáo sư Peter Constantin, trưởng phòng toán của đại học Chicago, cũng đánh giá: “Đây là toán học sâu sắc, thuần tuý và có quan hệ tới thế giới, như các ngành vật lý năng lượng cao, khoa học máy tính và khoa học về mật mã”…
Khiêm tốn hơn, bài này điểm sơ một vài ví dụ về sự hiện diện của toán học trong công nghệ và đời sống hiện đại.

Mô phỏng và tính toán

Hãy mổ xẻ một chiếc xe hơi. Ta có thể thấy những bộ phận cơ bản sau: khung gầm, thùng xe, máy, bánh. Khung gầm đặt trên bộ bánh xe, rồi thùng xe úp lên đó, chia thành hai khoang, một để máy và một để chở người hay hàng hoá. Khung gầm gồm những xà và thanh ngang bằng thép, gắn với nhau bằng đinh ốc hoặc hàn, còn thùng xe thì thường bằng các tấm tôn kim loại hỗn hợp. Ngày nay, khuynh hướng chung là thiết kế khung gầm và thùng chung một lượt, tạm gọi là sườn xe, trên đó sẽ gắn các thành phần khác như máy, bộ phận truyền động, bánh, hệ thống treo, ghế ngồi… Người thiết kế phải phân tích những chức năng chính của chiếc sườn (chịu các phản lực vào xe khi xe chạy, lực cơ học truyền từ đường lên xe thông qua bánh và bộ phận treo, lực khí động học của không khí, sốc khi phải thắng gấp, khi xảy ra tai nạn v.v.), và những ràng buộc về tính ổn định và bám đường của xe, về hiệu năng của xe (yêu cầu tiết kiệm năng lượng ngày càng nghiêm ngặt), về độ an toàn và yên lặng cho khách, về vẻ dáng. Rồi phải phân bố như thế nào chỗ đặt máy, chỗ ngồi và các tiện ích khác…
Để đáp ứng những chức năng và thoả mãn các ràng buộc đó, nhà thiết kế mô phỏng đối tượng với những định luật vật lý, thể hiện qua những phương trình đạo hàm riêng phức tạp với những điều kiện hình học phức tạp không kém, được giải trên máy tính lớn, bằng những phương pháp tính toán thâm sâu…
Đó là chỉ bàn tới chiếc sườn xe, còn máy, còn bánh, toàn những sản phẩm công nghệ cao với những vật liệu hỗn hợp tinh vi, gồm nhiều bộ phận cấu thành, có nhiều chức năng và ràng buộc đòi hỏi nghiên cứu khoa học – công nghệ ở mức tiên tiến, trong đó toán giữ vị trí cốt yếu. Nói gọn một cách hình tượng: “Hai Lúa” có thể lắp ghép một chiếc xe hơi (chưa nói máy bay) chạy được từ những vật liệu thô sơ, chiếc máy nổ cũ, nhưng sẽ không thể làm thành một sản phẩm của thị trường ngày nay!
Ở Việt Nam, theo thiển ý, chưa phải đã có quá nhiều người làm toán, nhưng chưa thúc đẩy và phát huy được khả năng đóng góp của họ vào những ứng dụng của toán, một phần là vì chưa chú trọng phát triển các công nghiệp có hàm lượng tri thức cao, thay cho phát triển theo chiều rộng như hiện nay.
Sơ đồ “mô phỏng và tính toán” này cũng được gặp trong nhiều ngành khoa học và công nghệ khác, đặc biệt là khoa học vật liệu…

Toán trong công nghệ thông tin

Bạn lấy một tờ giấy kẻ thành ô nhỏ, tô trên mỗi ô một màu, và một độ đậm nhất định: bạn có một tấm hình. Nếu ô càng nhỏ, tấm hình càng có thể giống như vẽ tự do. Đó là nguyên tắc biểu hiện hình ảnh trong máy tính hay máy ảnh số. Mỗi ô là một pixel, chứa các thông tin về màu và độ đậm, có thể mã hoá bằng một bit. Máy ảnh số bây giờ cho ra những tấm ảnh hàng triệu bit. Chiếu trên màn hình 24 tấm ảnh liên tục mỗi giây, thành phim nhìn như không có gián đoạn. Làm sao chuyển trong không gian xy-be khối lượng khổng lồ những thông tin của một phim video? Phải có những chương trình nén, rồi giải nén. Máy tính không tự nhiên làm được những việc đó đâu. Toán đấy. Biến đổi Fourier, wavelet…, những phương pháp toán cao cấp cho phép xử lý hình ảnh, lọc ra những thông tin cốt lõi từ một tấm hình, tách chúng rời ra để có thể chuyển đi, rồi lắp ghép lại (nên nhớ, đây là những thông tin hai, ba chiều)… Trong hội nghị toán quốc tế vừa rồi, ngoài bốn giải Fields, có ba giải thưởng lớn nữa, trong đó giải Gauss được trao cho nhà toán học Pháp Yves Meyer – Giải Abel năm 2017, chuyên gia hàng đầu về lý thuyết wavelet(*) (mà một ứng dụng nổi tiếng là cho phép FBI mã hoá bộ ảnh dấu vân tay, từ đó có thể lưu trữ trong máy tính, dễ dàng tìm kiếm khi cần!)

Một ví dụ nổi tiếng khác: việc mật mã hoá các thông tin nhạy cảm bằng những khoá công khai (nhưng khoá giải mật thì chỉ người nhận tin có), cho phép thương mại điện tử bùng nổ từ mấy năm nay. Đây là một ứng dụng bất ngờ của số học, một ngành toán tưởng như hoàn toàn “thuần tuý”.

*

Bài viết ngắn này không thể đề cập tới vô vàn ứng dụng khác của toán học. Thống kê học chẳng hạn, đang trở thành một công cụ thiết yếu trong các nghiên cứu về bộ gene, AND…, chưa kể kinh tế. Ở Việt Nam, theo thiển ý, chưa phải đã có quá nhiều người làm toán, nhưng chưa thúc đẩy và phát huy được khả năng đóng góp của họ vào những ứng dụng của toán, một phần là vì chưa chú trọng phát triển các công nghiệp có hàm lượng tri thức cao, thay cho phát triển theo chiều rộng như hiện nay.

Việt Báo (Theo SGTT)

——————&&&—————-

Kinh tế, toán học và tuyển sinh

Kinh tế, toán học và tuyển sinh

(Tác giả: Hà Huy Khoái – Nguồn: tiasang.com.vn)

Những thành tựu của Alvin Roth và Lloyd Shapley (hai đồng chủ nhân giải Nobel Kinh tế 2012) có thể được ứng dụng vào thực tiễn Việt Nam như thế nào, từ việc thiết kế cơ chế điều phối hiến tặng nội tạng đến cơ chế tuyển sinh?

Xu hướng áp dụng những thành tựu toán học trong nghiên cứu kinh tế đã có lịch sử lâu đời, và đặc biệt nổi bật trong khoảng mấy chục năm gần đây. Để minh họa nhận định đó, xin điểm qua một số giải Nobel Kinh tế mà người được giải là nhà toán học, hoặc những phương pháp toán học đóng vai trò chủ yếu trong thành tựu của giải:

– Năm 1975, L. Kontorovich – nhà toán học Nga – nhận giải nhờ những nghiên cứu trong lý thuyết tối ưu, cụ thể là vấn đề phân bổ nguồn lực một cách tối ưu.

– Năm 1994, nhà toán học Mỹ J. Nash cùng với J. Harsanyi và R. Selten được trao giải nhờ những kết quả về cân bằng trong trò chơi bất hợp tác.

– Năm 2005, R. Aumann, Th. Schelling được vinh danh nhờ những nghiên cứu về xung đột và hợp tác trong lý thuyết trò chơi.

– Năm 2007, L. Hurwicz, E. Maskin, R. Myerson, bằng công cụ toán học xây dựng nên cơ sở cả lý thuyết thiết kế cơ chế.

– Năm 2012, A. Roth và L. Shapley, dựa trên những nghiên cứu về thuật toán chấp nhận trì hoãn đã đưa ra và kiểm nghiệm trên thực tế Lý thuyết phân phối ổn định và thiết kế thị trường.

Ngoài ra còn có thể kể đến những giải Nobel Kinh tế khác mà trong đó những phương pháp toán học đóng vai trò chính yếu: G. Debreu (1983 – Lý thuyết cân bằng tổng quát); V. Smith (2002 – Phân tích thực nghiệm trong nghiên cứu thị trường), R. Engle (2003 – Phân tích chuỗi thời gian).

Dưới đây, chúng tôi chủ yếu trình bày những thành tựu của Roth và Shapley, đồng thời đề xuất một số khả năng ứng dụng của những nghiên cứu đó vào thực tiễn Việt Nam.

Đây không phải là những nghiên cứu mới của tác giả, mà chỉ là giới thiệu một số thành tựu mới cho những độc giả không chuyên.

Chi tiết hơn có thể tìm thấy trong những tài liệu liệt kê ở phần Tài liệu tham khảo.

Tiền đề thực tiễn của lý thuyết Roth và Shapley

Trong kinh tế, nhiều vấn đề được giải quyết bằng hệ thống giá cả. Tuy nhiên, cũng có nhiều lĩnh vực mà cơ chế giá cả không thể giải quyết trọn vẹn vấn đề, nhất là khi đụng chạm đến phạm trù đạo đức. Ví dụ như việc hiến tặng nội tạng, hay phân phối học sinh vào các trường công lập. Đặc điểm chung của những lĩnh vực đó là các “sản phẩm” không hoàn toàn đồng nhất, hoặc thị trường rất “mỏng”.

Năm 1984, Roth nghiên cứu thị trường tuyển dụng bác sĩ mới ra trường ở Mỹ. Cho đến trước những năm 1940, thị trường này còn “mỏng” và không tập trung. Thời gian sau đó bắt đầu chứng kiến sự bùng nổ của thị trường, dẫn đến hiện tượng tắc nghẽn. Để có thể tuyển dụng được, các bệnh viện phải đưa ra những quyết định tuyển người rất sớm, vì nếu từ chối ứng viên nào đó, rất có thể là đã quá muộn để có một ứng viên khác nộp đơn. Tình hình đó buộc các bệnh viện đưa ra những thời hạn chót cho ứng viên rất gấp. Điều này kéo theo việc sinh viên phải nhận chỗ làm tương lai thậm chí ngay từ khi chưa quyết định mình sẽ theo chuyên ngành gì.

Tình hình tương tự cũng được quan sát thấy ở các nước khác như Anh và Canada.

Để giải quyết tình trạng trên, khoảng những năm 1950 ở Mỹ đã thành lập những trung tâm điều phối, nhằm giúp cho thị trường bác sĩ mới tránh được hiện tượng “tắc nghẽn”. Năm 1984, Roth phát hiện ra rằng, thuật toán mà các trung tâm điều phối ở Mỹ áp dụng thực chất gần với thuật toán chấp nhận trì hoãn của Gale và Shapley, xây dựng trong một bài báo đăng trên tạp chí American Mathematical Monthly năm 1962.

Một hiện tượng khác cho thấy sự cần thiết phải có thuật toán điều phối tương tự là vấn đề tuyển sinh vào các trường công lập ở New York. Học sinh có thể chọn trường mình muốn theo học, nhà trường có thể ưu tiên theo những tiêu chí riêng của họ, như học lực, khả năng thể thao, văn nghệ,… Cho đến trước năm 2003, việc phân phối học sinh vào các trường theo nguyên tắc sau: mỗi học sinh đưa ra năm nguyện vọng theo thứ tự ưu tiên, các trường lấy từ trên xuống cũng theo thứ tự ưu tiên của họ. Nếu học sinh nào mà cả năm nguyện vọng đều không được thỏa mãn (hết chỗ) thì buộc phải theo sự sắp xếp của thành phố. Quy tắc này giống với cách tuyển sinh đại học (theo thứ tự điểm) áp dụng hiện nay ở Việt Nam. Tạm gọi đó là thuật toán chấp nhận tức khắc. Theo quy tắc này, hằng năm ở New York có khoảng 30.000 học sinh không được theo học ở trường nào trong năm trường có nguyện vọng.

Roth phát hiện ra rằng, những vấn đề nêu trên đối với thị trường bác sĩ cũng như tuyển sinh, và nhiều vấn đề khác của thực tiễn có thể giải quyết nhờ thuật toán chấp nhận trì hoãn.

Thuật toán chấp nhận trì hoãn

Những vấn đề của thị trường bác sĩ và tuyển sinh có nét chung: đó là cần đến sự “ghép cặp” (giữa nhà tuyển dụng và ứng viên, giữa học sinh và nhà trường). Việc ghép cặp này phải bảo đảm ba yêu cầu:

David Gale (trái) và Lloyd Shapley, hai đồng tác giả của thuật toán chấp nhận trì hoãn được công bố lần đầu vào năm 1962.

– Ổn định: không xảy ra “nguyện vọng chéo”, tức là không xảy ra việc ứng viên A muốn vào X thì bị ghép vào Y, ngược lại ứng viên B muốn vào Y thì bị ghép vào X. Nếu có tình trạng đó, các ứng viên sẽ có nguyện vọng trao đổi, và hệ thống mất ổn định.

– Khuyến khích sự thành thật: các ứng viên cần đưa ra thứ tự ưu tiên thật sự của mình. Thuật toán cần đảm bảo sao cho sự thành thật làm lợi cho ứng viên, tránh tình trạng người gian dối được hưởng lợi.

– Thuật toán phải đơn giản, dễ áp dụng.

Điều đáng ngạc nhiên là một thuật toán đáp ứng cả ba yêu cầu đó đã được hai nhà toán học Gale và Shapley đưa ra năm 1962 ([3]), nhưng chính các tác giả không hề biết về khả năng áp dụng thuật toán.

Thuật toán chấp nhận trì hoãn (deferred acceptance algorithm) có thể mô tả như sau.

Xét một thị trường hai phía, gồm nhà tuyển dụng và ứng viên (ví dụ nhà trường và sinh viên). Các trường và sinh viên gửi danh sách thứ tự ưu tiên của mình đến một trung tâm thông tin.

Bước 1: Trung tâm xếp các sinh viên vào các trường theo “nguyện vọng 1” của họ. Các trường nhận (tạm thời) theo thứ tự ưu tiên. Khi đã đủ số cần thiết, những ứng viên còn lại bị từ chối.

Quá trình trên được lặp lại, cụ thể là:

Ở bước thứ k, mỗi sinh viên bị từ chối ở các bước 1 đến k-1 sẽ được đưa vào trường tiếp theo trong danh sách các nguyện vọng của sinh viên đó. Các trường sẽ lại xét theo danh sách mới (bao gồm các sinh viên đã được chấp nhận tạm thời ở những bước trước và những sinh viên vừa được đưa vào) và đưa ra danh sách chấp nhận tạm thời mới. Những sinh viên còn lại bị từ chối.

Quá trình kết thúc khi không còn đơn nhập học nào bị từ chối, hoặc khi chỉ còn lại những sinh viên đã bị từ chối ở tất cả các bước.

Có thể minh họa thuật toán một cách đơn giản như sau (theo cách trình bày của Shapley).
Giả sử có bốn chàng trai Adam, Bob, Charlie và Don, cùng “theo đuổi” ba cô gái Mary, Jane và Kate.

Thứ tự ưu tiên của các chàng trai được cho bởi bảng sau đây:

Adam Bob Charlie Don
Mary Jane Mary Mary
Jane Mary Kate Kate
Kate Kate Jane Jane

Thứ tự ưu tiên của các cô gái:

Mary Jane Kate
Adam Adam Don
Bob Charlie Charlie
Charlie Don Bob
Don Bob Adam

Ngày thứ nhất, các chàng trai cầu hôn các cô gái mà mình thích nhất. Trong những người đến cầu hôn, mỗi cô gái chấp nhận (tạm thời) người đứng thứ tự cao nhất trong bảng ưu tiên của mình, từ chối những người còn lại.

Các chàng trai bị từ chối sẽ tiếp tục cầu hôn cô gái thứ hai trong “bảng ưu tiên”. Các cô gái sẽ xét những lời cầu hôn mới, kết hợp với người đã “lựa chọn tạm thời” để chấp nhận (vẫn chỉ là tạm thời) người có thứ tự cao nhất trong bảng ưu tiên.

Quá trình tiếp tục cho đến khi những chàng trai chưa được ghép cặp đã bị từ chối bởi tất cả các cô gái.

Với trường hợp cụ thể trên đây, quá trình diễn ra như sau:

Ngày 1 Ngày 2 Ngày 3 Ngày 4 Ngày 5
Mary Adam (Charlie và Don bị từ chối) Adam (không có lời cầu hôn mới) Adam (không có lời cầu hôn mới) Adam (từ chối Bob) Adam(không có lời cầu hôn mới)
Kate Không có lời cầu hôn nào Don (Charlie bị từ chối) Don (không có lời cầu hôn mới) Don (không có lời cầu hôn mới) Don (Bob bị từ chối)
Jane Bob Bob (không có lời cầu hôn mới) Charlie (Bob bị từ chối) Charlie (không có lời cầu hôn mới) Charlie (không có lời cầu hôn mới)

Như vậy, với Thuật toán chấp nhận trì hoãn, kết quả “ghép cặp” sẽ là: Mary-Adam; Kate-Don; Jane-Charlie.

Gale và Shapley đã chứng minh chặt chẽ về mặt toán học những kết luận sau đây:

– Thuật toán kết thúc sau hữu hạn bước, và cho một lời giải ổn định

– Lời giải là tốt nhất có thể đối với các chàng trai. Nếu các cô gái được chủ động kén rể, thì kết quả sẽ tốt nhất cho các cô gái. Trong ví dụ trên đây, kết quả ghép cặp không thay đổi, tuy nhiên trong trường hợp tổng quát, kết quả có thể sẽ khác. Tức là, thuật toán nhằm ưu tiên quyền lợi cho “ứng viên”.

– Thuật toán áp dụng được cho cả những trường hợp số chàng trai và số cô gái khác nhau.
Cho đến những năm 1970, thuật toán chấp nhận trì hoãn của Gale và Shapley chỉ có ý nghĩa lý thuyết.

Lý thuyết thiết kế thị trường

Alvin Roth là người phát hiện ra khả năng ứng dụng to lớn của thuật toán chấp nhận trì hoãn. Roth chỉ ra rằng quan điểm “ổn định” giúp ta hiểu được khi nào thị trường hoạt động tốt, khi nào thì không. Cùng với các cộng sự, Roth đã kết hợp giữa những nghiên cứu thực tế với những thí nghiệm kiểm soát được trong phòng thí nghiệm, với việc sử dụng tương tự trên máy tính để kiểm tra cơ chế hoạt động của thị trường. Họ đã hoàn thiện và phát triển thuật toán của Gale và Shapley, áp dụng chúng để đề xuất những cơ chế giúp thị trường hoạt động tốt hơn. Những nghiên cứu này đã tạo nên một lĩnh vực mới trong kinh tế, được gọi là thiết kế thị trường. Trong lý thuyết của mình, Roth sử dụng cả những thành tựu của lý thuyết trò chơi hợp tác và bất hợp tác.

Từ năm 2003, những phương án do Roth và các cộng sự đề xuất cũng được áp dụng vào việc tuyển sinh của các trường công lập ở New York. Kết quả thật ấn tượng: con số khoảng 30.000 học sinh không được học đúng nguyện vọng hằng năm giảm xuống còn khoảng 3.000. Nhiều thành phố khác cũng bắt đầu áp dụng thuật toán đó, chẳng hạn Boston bắt đầu áp dụng từ 2005.

Những nghiên cứu về thiết kế thị trường của Roth cũng được áp dụng rộng rãi ở nhiều nước khác, như Anh, Canada, Nhật, vì những vấn đề đặt ra ở đó là hoàn toàn tương tự.

Những công trình về thiết kế thị trường của Roth và Shapley không chỉ liên quan đến những thị trường hai phía, mà còn cả những thị trường một phía. Năm 1974, Shapley và Scarf nghiên cứu những thị trường một phía, trong đó người tham gia có những tài sản nào đó (chẳng hạn những lô đất) mà họ muốn trao đổi với nhau không thông qua việc trả tiền. Mô hình này còn được cải tiến cho trường hợp có những người tham gia mà không có tài sản gì! Shapley và Scarf chứng minh rằng, thuật toán chu trình thương mại hàng đầu (top-trading cycle algorithm) của Gale sẽ đưa ra được một phân phối ổn định. Có thể mô tả thuật toán đó như sau.

Xét một tập hợp những đối tượng tham gia trao đổi. Ta vẽ một mũi tên xuất phát từ mỗi đối tượng A và đi đến đối tượng B đang nắm giữ tài sản mà A thích nhất. Làm như vậy, về mặt toán học, ta được một đồ thị hữu hạn có hướng. Trong mỗi đồ thị như vậy đều tồn tại ít nhất một chu trình. Khi đó những đối tượng nằm trong chu trình sẽ trao đổi với nhau, và họ được loại ra ngoài hệ thống. Quá trình tiếp tục cho đến khi không còn đối tượng nào. Roth và Postlewaite (1977) chứng minh rằng tồn tại duy nhất một phân phối ổn định.

Thuật toán trên đây được áp dụng rất hiệu quả ở Anh trong vấn đề điều phối việc hiến tặng nội tạng. Ví dụ, một người nào đó muốn hiến thận cho người thân của mình, nhưng nhóm máu của họ không hợp. Khi đó, họ sẵn sàng hiến cho người khác, với điều kiện người thân của mình nhận được quả thận thích hợp. Nếu chỉ có hai cặp như vậy chỉ cần tiến hành bốn ca mổ đồng thời. Tuy nhiên, vấn đề phức tạp hơn nhiều nếu không tìm ngay được một cặp thích hợp. Điều này dẫn đến việc phải thành lập những trung tâm điều phối, hoạt động trên cơ sở thuật toán vừa mô tả.

Kết luận

Giải Nobel 2012 của Roth và Shapley là thành tựu của việc kết hợp giữa lý thuyết toán học (thuật toán chấp nhận trì hoãn của Gale-Shapley và thuật toán chu trình thương mại hàng đầu của Gale) với những nghiên cứu trong phòng thí nghiệm và thực tiễn thị trường (Roth và các cộng sự). Điều này một lần nữa minh chứng cho tiềm năng ứng dụng của những nghiên cứu toán học trừu tượng, và những thành tựu đạt được với sự phối hợp những nghiên cứu đa ngành, một xu hướng tất yếu của khoa học hiện đại.

Sự đơn giản và hiệu quả của thuật toán chấp nhận trì hoãn cho chúng ta hy vọng có thể tìm thấy những ứng dụng của nó trong thực tiễn Việt Nam. Ví dụ như trong việc thiết kế cơ chế tuyển sinh thế nào cho phù hợp với xã hội; thiết kế cơ chế hoạt động của Trung tâm Điều phối hiến tặng nội tạng được thành lập cách đây không lâu.

Cũng cần nhấn mạnh rằng, thực tiễn luôn đặt ra rất nhiều vấn đề phải giải quyết, và thị trường Việt Nam chắc chắn không giống với thị trường của bất kỳ nước nào. Vì thế, những thành tựu của Roth và Shapley, nếu có thể ứng dụng vào Việt Nam, chắc chắn cần nhiều cải tiến cho phù hợp.

Viết thêm

Sau khi Bộ Giáo dục và Đào tạo có chủ trương dùng kết quả của kỳ thi tốt nghiệp THPT để xét tuyển đại học, tôi cùng với TS Phan Huy Phú (trường ĐH Thăng Long) đã đề xuất một phương án tuyển sinh dựa trên thuật toán chấp nhận trì hoãn, có một số cải tiến để phù hợp với điều kiện Việt Nam. Với phương án này, mỗi thí sinh chỉ cần đưa một danh sách nguyện vọng của mình theo thứ tự ưu tiên, mà không cần quan tâm đến kết quả thi của các thí sinh khác. Các trường có thể đưa ra những ưu tiên xét chọn phù hợp với trường mình (điểm thi, năng khiếu, hình thể,…) Vấn đề còn lại là máy tính sẽ sắp xếp sao cho mỗi thí sinh có thể vào trường cao nhất theo thứ tự ưu tiên, tùy thuộc vào điểm thi và những điều kiện khác của bản thân.

Phương án này đã được trường ĐH Thăng Long trình lên Bộ Giáo dục và Đào tạo tháng 10/2014; cùng với một thử nghiệm trên máy tính. Mô hình thử nghiệm được xây dựng trên giả định có một triệu thí sinh (gần với con số thực tế), và thuật toán cho kết quả “xét tuyển” ổn định sau hai giờ chạy máy.
———————–
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] I. Ashlagi and A. Roth. New challenges in multi-hospital kidney exchange. American Economic Review, 102, 2012, pp. 354-359.
[2] R.J. Aumann and L.S Shapley. Values of non-atomic games. Princeton Univ. Press, 1974.
[3] D. Gale and L. S. Shapley. College admissions and the stability of marriage. American Mathematical Monthly, 69, 1962, pp.9-15.
[4] A. Roth. The economics of matching: stability and incentives. Mathematics of Operations Research, 7, 1982, pp. 617-628.
[5] A. Roth. What have we learned from market design? Economic Journal, 118, 2008, pp. 285-310.
[6] A. Roth. Deferred acceptance algorithm: History, theory, practice, and open question. International Journal of game theory, 36, 2008, pp. 537-569.
[7] Stable allocations and the practice of market design. Economic Science Prize Committee of the Royal Swedish Academy of Sciences., 2012., 44 p.

—————&&————-

Toán học, một trụ cột của phát triển kinh tế

Toán học, một trụ cột của phát triển kinh tế

(Tác giả: KunMo Chung – Nguồn: tiasang.com.vn)


Ông KunMo Chung là giáo sư về
Kĩ nghệ năng lượng, từng hai lần làm
Bộ trưởng KH&CN Hàn Quốc

Đại hội Toán học thế giới Seoul ICM 2014 dành riêng một ngày để bàn về thành tựu và cơ hội ứng dụng Toán học ở các nước đang phát triển. Tại đây, tôi đặc biệt ấn tượng với tham luận “Toán học là một trụ cột của phát triển kinh tế Hàn Quốc” của GS KunMo Chung – từng hai lần làm Bộ trưởng KH&CN Hàn Quốc. Lý do có lẽ là, về địa lí, Hàn Quốc không xa nước ta là mấy. Về kinh tế thì vào những năm 1950 họ như chúng ta, còn về Toán học thì thậm chí đến những năm 1980 họ cùng lắm cũng bằng chúng ta mà thôi! Tôi có thể cảm nhận được nhiều ý của ông, vì tôi cũng từng nghĩ tới chúng. Nhưng có lẽ chưa tới cái tầm vóc mà ông đúc kết, hoặc chưa có bằng chứng thuyết phục như những bằng chứng của ông. Trong bản lược dịch này, tôi sẽ nêu một số suy ngẫm của mình khi đối chiếu với thực trạng của nước ta.

Như các ngài đều biết, Triều Tiên bị Nhật đô hộ suốt 36 năm, và chỉ giành độc lập sau Chiến tranh thế giới lần thứ hai. Nhưng ít lâu sau đó đã xảy ra cuộc nội chiến chia cắt đất nước. Trong những năm 1950, Triều Tiên là một trong những nước nghèo nhất thế giới. Sáu mươi năm sau, Hàn Quốc đã biến thành một quốc gia khác hẳn. Ai đã từng thăm Hàn Quốc cách đây nửa thế kỉ chắc hẳn thấy rõ sự thần kì đó.

Trong quá trình chuẩn bị tham luận này, tôi đã tìm thấy một trụ cột duy nhất để xây dựng một dân tộc Hàn Quốc hùng mạnh trong suốt 60 năm qua. Đó chính là Niềm tin vào Giáo dục, Khoa học và Công nghệ. Và điều cốt yếu của niềm tin đó là vai trò và sự tạo ra giá trị của Toán học.

Cho phép tôi được chia sẻ kinh nghiệm đó với các bạn.

Giai đoạn 1950 – 1970: Toán học là thước đo của sự xuất sắc trong học đường

Những năm 1950, thu nhập bình quân đầu người hằng năm ở Hàn Quốc là 76 USD. Làm thế nào Hàn Quốc khắc phục khó khăn đó để trở thành một dân tộc tiên tiến?

Mong muốn có cuộc sống tốt hơn

Không cam chịu đói nghèo, cả dân tộc đều đồng lòng với quyết tâm này. Trước hết là thông qua sự “siêng năng, cần cù”. Người ta nghĩ tới ngay cả số bước đi trong một phút: Người Mỹ là 25 bước, người Anh: 29, người Nhật: 35, còn người Hàn Quốc: 56. Đi như chạy! Nó tạo nên nhịp điệu của cuộc sống.

Cơ sở hạ tầng giáo dục không đủ đáp ứng

Thiếu thầy, thiếu sách. Một số phải học trong các túp lều. Nhưng không sao. Bộ trưởng Giáo dục đi quyên góp tiền của UNESCO để in sách giáo khoa, còn thế hệ chúng tôi cố học Toán để chứng tỏ năng lực và sự xuất sắc của mình. Có rất nhiều kì thi học sinh giỏi. Thành tích học tập và khả năng Toán học là những thước đo ghi nhận!

Tình hình cũng vậy ở bậc đại học và cao đẳng. Sinh viên phải làm đêm để có tiền ăn học. Rất ít người có thể du học ở nước ngoài. Đến năm 1960, tổng cộng có không quá 60 người bảo vệ tiến sĩ ở nước ngoài.Toán học: Thước đo thành công của Giáo dục Ngay từ thế kỉ 17, người ta đã thấy người Triều Tiên rất ham đọc sách. Kể cả nhà rất nghèo cũng có sách. Những năm 1960, nhiều người Hàn Quốc bán nhà, bán đất để trả tiền học cho con, với niềm tin con họ sẽ có cuộc sống khá hơn. Không có gì mạnh hơn niềm tin của bố mẹ rằng học tốt sẽ đem lại cuộc sống khá giả hơn. Lại một lần nữa,

Toán học là trung tâm của Giáo dục.

Từ Tiểu học, học sinh Hàn Quốc đã được luyện tập tính nhẩm và tính bằng bàn tính. Đó là những kiến thức cơ sở về Toán của bao người Hàn Quốc. Rất lâu trước khi tham dự thi Toán quốc tế (IMO), từ những năm 1950, Hàn Quốc đã tổ chức nhiều kì thi học sinh giỏi các cấp. Những học sinh giỏi nhất ở Trung học thường tham gia câu lạc bộ Toán. Toán học là một thước đo năng lực học sinh, và do đó học sinh thường dành nhiều thời gian hơn cho Toán.

Qua trên, có thể nói: Sự hùng mạnh của dân tộc Hàn và Giáo dục rõ ràng liên hệ chặt chẽ với nhau. Học Toán và rèn luyện kĩ năng về Toán là hạt nhân của thành tích học tập.

Giai đoạn 2: 1970 – 1990: Toán học là trụ cột của phát triển kinh tế

Sự trở về của du học sinh

Rất may tôi cũng là người đóng vai trò quan trọng trong giai đoạn này. Cuối những năm 1960, GS J. A. Hanna, khi đó là chủ tịch ĐH bang Michigan, và sau đó là chủ tịch Ủy ban Phát triển quốc tế của Hoa Kỳ (USAID) chấp thuận lời đề nghị của tôi thành lập một viện nghiên cứu cao cấp về Khoa học và Công nghệ để phát triển nguồn nhân lực. Sau khi vượt qua một số trở ngại, vào năm 1971, Viện Nghiên cứu cao cấp về Khoa học và Công nghệ Hàn Quốc (KAIST) đã được thành lập. Viện hoạt động theo mô hình của Học viện Công nghệ Massachusetts (MIT).

Theo một báo cáo của CareerCast vào tháng Tư năm 2014 về cơ hội việc làm tại Mỹ, thì Toán là số một! Ngoài Toán ra, Thống kê chiếm vị trí thứ ba, Kiểm toán thứ tư, Kĩ sư công nghệ phần mềm thứ bảy, và quản trị Hệ thống máy tính đứng thứ tám. Ta thấy tất cả các ngành nghề này đều liên quan chặt chẽ với Toán.

Lúc đó có khoảng 260 giáo sư Hàn làm việc ở Mỹ. Một nửa trong số đó thuộc lĩnh vực Khoa học và Công nghệ. Tôi đã đề nghị họ luân phiên về Hàn Quốc, mỗi lần sáu tháng. Kết quả là 50 giáo sư Hàn về Khoa học ứng dụng và Kỹ nghệ đã trở thành những giáo sư đầu tiên của KAIST. Tôi nghĩ cần thiết phải tập trung vào Khoa học ứng dụng để tạo hiệu quả kinh tế nhanh nhất. Các tập đoàn, công ty cũng tuyển người vừa tốt nghiệp đại học. Do thời cơ đóng góp cho đất nước của những người “tha phương cầu thực” đã được mở ra, những người đã qua đào tạo ở nước ngoài hồi hương như là sự quay về cội nguồn của loài cá hồi.

Mặt khác, việc du học cũng đã được chính phủ tạo điều kiện. Kết quả là hàng loạt sinh viên đổ xô đi học nước ngoài. Nhờ đó họ được đào tạo về Toán, Khoa học, Kĩ nghệ và Kinh tế để trở về đóng góp cho sự phát triển của Hàn Quốc sau những năm 1990. Khi trở về, họ tham gia đào tạo trình độ cao các thế hệ sinh viên tiếp theo, hoặc đào tạo nhân lực cho phát triển công nghiệp. Qua đó cũng thiết lập mạng lưới hợp tác quốc tế. Có thể nói, những người “biệt xứ” này đã trở thành rường cột của phát triển Toán học và ngành công nghiệp Công nghệ Thông tin ở Hàn Quốc.

Tăng số lượng các chuyên ngành kĩ nghệ

Trả lời câu hỏi của một nhà khoa học Đức: “Làm thế nào mà Hàn Quốc có thể sản xuất được chất bán dẫn vào loại tốt nhất thế giới, trong khi họ chẳng có mấy công bố về lĩnh vực này?”, GS Seok Gi Min của ĐH Kyunghee đã trả lời: “Rất nhiều thanh niên học hành giỏi giang đã về làm việc trong nhà máy đồng thời tham gia nghiên cứu”.

Để đáp ứng những nhu cầu cốt yếu của thời đại, Kĩ nghệ trở thành chuyên ngành mốt nhất, vì nhờ nó có thể dễ dàng kiếm việc sau khi được đào tạo. Bởi vậy, nhiều sinh viên lao vào học Khoa học và Công nghệ. Từ giữa những năm 1980, số tiến sĩ về Kĩ nghệ tăng đáng kể. Người ta thấy, từ những năm 2000, ở Hàn Quốc số sinh viên theo học Công nghệ cao hơn so với các nước khác. Như một hệ quả, sẽ dễ tìm được hơn những người đủ giỏi cho các ngành KH&CN, cũng như tăng tỉ lệ tiến sĩ về KH&CN.

Sự bùng nổ giáo dục Toán học

Học sinh học Toán tốt thì dễ thi đậu các trường kĩ nghệ và nhất thiết phải có kiến thức Toán tốt mới thi đậu trường đại học tốt. Thế là người ta đua nhau học Toán. Từ những năm 1950, Kinh thánh bán chạy nhất. Sau đó là một quyển sách giáo khoa về Toán ở Trung học phổ thông. Hơn 40 triệu bản đã được bán. Hầu như học sinh trung học phổ thông nào cũng mua quyển đó. Đó là một minh họa nhỏ cho việc dạy Toán quan trọng như thế nào ở Hàn Quốc.

Tuy nhiên, việc dạy Toán ở bậc đại học hoàn toàn khác so với ở phổ thông. Đến những năm 1970, hầu hết các trường đại học đều có khoa Toán, nhưng vì số lượng tiến sĩ còn ít, nên không đủ giảng viên có thể dạy sinh viên nghiên cứu. Sách chuyên khảo gốc cũng thiếu. Do vậy rất khó để theo đuổi những phát triển tiên tiến trong Toán. Hầu như không có quan hệ quốc tế, không có hội nghị, hội thảo quốc tế.

Kết luận

Có thể nói tại Hàn Quốc, không thể phát triển công nghiệp bán dẫn, công nghệ CD vào những năm 1980, rồi sau đó là công nghiệp Công nghệ Thông tin nếu như không có những công nhân và kĩ sư áp dụng một cách tích cực các kĩ năng toán học của mình trên các dây chuyền sản xuất! Khi Hàn Quốc cần các chuyên gia tạo mã và bảo mật số, các nhà Toán học Hàn Quốc đã nuôi dưỡng các chuyên gia đó. Nói một cách khác, Toán học đã tạo một nền móng cho sự lớn mạnh của Hàn Quốc.

1990 – nay: Toán học là nguồn lực của nền kinh tế tiên tiến

Người ta thấy rằng, việc theo đuổi công nghệ của các nước phát triển đã đem lại hiệu quả tốt trong phát triển kinh tế của những nước đi sau như Hàn Quốc, nhưng không thể phát triển tiếp nếu tự mình không tạo ra công nghệ riêng. Từ nhu cầu đó, chính phủ Hàn Quốc đã thiết lập một chiến lược mới phát triển khoa học cơ bản. Tôi rất may đã hai lần làm Bộ trưởng Bộ Khoa học và Công nghệ trong những năm 1990.

Nhờ sự lớn mạnh của kinh tế mà Hàn Quốc có thể đầu tư mạnh mẽ cho Nghiên cứu và Phát triển (R&D). Năm 2012, tỉ lệ đầu tư cho R&D ở Hàn Quốc chiếm 4,26% tổng thu nhập quốc nội – một con số đáng kể nếu so với các nước.

Tiếp sinh lực cho các khoa học về Toán

Vào những năm 1980, Quỹ Nghiên cứu Quốc gia Hàn Quốc (NRF), thông qua Chương trình “các trung tâm xuất sắc”, đã tăng cường tài trợ các trung tâm nghiên cứu khoa học (SRC). Thay vì tài trợ thông thường cho các cá nhân nhà nghiên cứu, Chương trình này đã tài trợ hàng triệu đô la cho các trung tâm nghiên cứu của hơn 20 nhà nghiên cứu xuất sắc hàng đầu được lựa chọn rất cẩn thận. Hơn 100 trung tâm SRC đã ra đời. Nhờ đó số bài báo cũng như số các nhà khoa học giỏi đã tăng vọt.

Trong Chương trình đó, cộng đồng Toán học cũng được hưởng lợi nhiều. Năm trung tâm SRC về Toán đã được thành lập. Năm 1996, Viện Nghiên cứu cao cấp Hàn Quốc (KIAS) được thành lập để thúc đẩy phát triển Toán, Vật lí và Khoa học máy tính. Năm 2005, Viện quốc gia các khoa học về Toán (NIMS) được thành lập để thúc đẩy nghiên cứu Toán với trọng tâm nâng cao hợp tác quốc tế. Nhiều viện nghiên cứu Toán được thành lập ở các trường đại học. Thông qua Chương trình Brain Korea 21 (Trí tuệ Hàn Quốc Thế kỉ 21), chính phủ Hàn Quốc đã tài trợ phát triển Toán học.

Bước nhảy chất lượng trong Toán

Theo Chương trình Khảo nghiệm sinh viên quốc tế (PISA), năm 2012, 31% học sinh Hàn Quốc đạt từ mức 5 trở lên trong Toán, trong khi con số bình quân ở 34 nước kinh tế phát triển là 13%. Hàn Quốc trở thành nước dẫn đầu! Con số này phản ánh sự đề cao giáo dục Toán học ở Hàn Quốc.

Hàn Quốc luôn cố gắng đào tạo học sinh có năng khiếu về Toán và Khoa học tự nhiên. Đã thành lập nhiều trường chuyên, cũng như một số trung tâm đào tạo xuất sắc ở các trường đại học. Điểm qua về thành tích thi Toán quốc tế sẽ thấy. Lần đầu tham dự vào năm 1988, Hàn Quốc đứng thứ 22. Không lâu sau đó, Hàn Quốc luôn đứng vào top 10 nước đầu1.

Tiếp tục chiều hướng này, nhiều học sinh giỏi thi vào các khoa Toán. Gần đây, tại các trường hàng đầu, chuyên ngành Toán cạnh tranh với chuyên ngành Y trong những chuyên ngành hàng đầu về lĩnh vực KH&CN. Năm 1994, trong số 600 sinh viên thi đậu KAIST, chỉ có 2% chọn học Toán. Con số đó là 10% vào năm 2005 và 13% năm 2010. Nhờ tính đại chúng và cạnh tranh cao mà chất lượng luận án tiến sĩ Toán tại Hàn Quốc cũng tăng lên, không thua kém gì so với các luận án bảo vệ ở nước ngoài.

Sự tiến bộ vượt bậc về uy tín của Toán học Hàn Quốc

Hàn Quốc lần đầu tham gia Liên đoàn Toán học quốc tế (IMU) vào năm 1981 và 10 năm xếp vào Nhóm 12. Năm 1993 được xếp vào Nhóm 2. Trong những năm 2000, số bài báo, đặc biệt là bài báo ISI tăng vọt. Nhờ vậy, năm 2007, Toán học Hàn Quốc được đặc cách nhảy từ Nhóm 2 sang Nhóm 4. Đây là điều chưa có tiền lệ trong IMU! Nhờ đó, đồng nghiệp quốc tế có cách nhìn khác về Toán học Hàn Quốc. Ngay tại nước Hàn, ngày càng có nhiều giáo sư ngành khác cũng như các chuyên gia thấy được sự quan trọng của Toán học.

Lời kết

Theo một báo cáo của Hội Toán học Anh vào năm 2012, khoảng 10% chỗ làm việc ở Anh liên quan tới Toán, và Toán góp 16% vào giá trị tăng trưởng của Kinh tế Anh. Nếu xét tất cả các chỗ làm việc, thì khoảng 45% giá trị tăng trưởng liên quan trực tiếp hoặc gián tiếp tới Toán.Mặt khác, theo một báo cáo của CareerCast vào tháng Tư năm 2014 về cơ hội việc làm tại Mỹ thì Toán là số một! Ngoài Toán ra, Thống kê chiếm vị trí thứ ba, Kiểm toán thứ tư, Kĩ sư công nghệ phần mềm thứ bảy, và quản trị Hệ thống máy tính đứng thứ tám. Ta thấy tất cả các ngành nghề này đều liên quan chặt chẽ với Toán. Rõ ràng, so với Thế kỉ 20, tác động của Toán vào xã hội và việc làm còn sâu sắc hơn nhiều.Trong nền kinh tế sáng tạo của Thế kỉ 21, con người với khả năng học kiến thức mới cần hơn là những người có kiến thức bách khoa! Giáo dục Toán học cho ta khả năng đó. Toán học đặt ra những vấn đề mới cho tương lai, và là nguồn lực của kinh tế sáng tạo. Công nghiệp càng tiến tới các công nghệ tiên tiến, càng cần thêm Toán học, và như vậy, sự đóng góp của Toán học lại càng tăng lên.

Lời bàn của người dịch:
1. Cũng như bên Hàn, dân ta sẵn sàng hy sinh tất cả vì con cái và cùng có ý nghĩ học là chìa khóa của thành công.
Thời học sinh, học Toán là một cách hiệu quả nhất để nâng cao khả năng tư duy (nhưng phải là học thực, chứ không phải các loại biến tướng: học vì điểm, học nhồi nhét: lấy kiến thức năm trên đem dạy cho năm dưới, …- không phải đề tài bàn luận ở đây). Bằng việc kiên trì giải các bài toán với độ khó khác nhau, cũng như đào sâu suy nghĩ, tìm tòi các cách giải mới, học Toán cũng là con đường rèn luyện tính kiên trì, lòng quyết tâm vượt khó. Hai điểm vừa nêu đó đã có nhiều người nói tới. Còn học Toán giúp rèn luyện tính chăm chỉ là một điều ít được nói đến, nhưng ngẫm nghĩ thì quả là đúng. (Khi nói chuyện ông đã dừng lại giải thích kĩ điều này hơn so với bản viết sẵn).
Dĩ nhiên, học tốt môn khác (kẻ cả những môn nghệ thuật) cũng có thể rèn luyện được các phẩm chất trên. Nhưng với nhiều môn, hoặc phải có những thiên bẩm nhất định (như làm thơ, ca hát, …), hoặc phải chờ đủ lớn – chứ không thể bắt đầu từ Tiểu học, hoặc thậm chí sớm hơn nếu kể cả học đếm, học tính nhẩm – hoặc phải có điều kiện vật chất tốt, … Trong khi học Toán chỉ cần có thầy cô giáo (mà đôi khi bố mẹ có thể đóng vai) và có thể bắt đầu rất sớm, kết thúc rất muộn! Bởi vậy, thời buổi khó khăn, khi phương tiện còn ít ỏi, ai cũng thấy học Toán chiếm thế độc tôn. Ngày nay, thế độc tôn đã mất, nhưng học Toán vẫn là con đường phổ dụng nhất, và dễ kiểm chứng nhất.
2. Trên thế giới, chỉ có một số rất ít học Toán tốt ở phổ thông tiếp tục học Toán ở bậc đại học. Trong số cử nhân Toán học, thậm chí trong số tiến sĩ Toán cũng chỉ rất ít người sau này theo nghề nghiên cứu hoặc giảng dạy Toán học. Phần lớn học sinh học Toán tốt ở phổ thông để thi đậu và học tốt các ngành nghề khác ở các trường đại học, cao đẳng. Đào tạo một ngành khoa học và công nghệ mà hàm lượng Toán học thấp thì không thể có chất lượng đảm bảo, và do đó người học khó có cơ may tìm được công việc tốt.
Có hiểu như vậy mới thấy được ý nghĩa của đào tạo Toán học ở bậc phổ thông và đại học. Xem “Học Toán mà không theo ngành Toán là phí phạm, là làm trái ngành trái nghề” là một cách hiểu hoàn toàn sai lầm, dẫn đến đánh giá không đúng vai trò của Toán học. Xã hội không cần quá nhiều người nghiên cứu hay dạy Toán. Nhưng ngược lại, muốn tăng cường khả năng tư duy, muốn có kĩ năng công nghệ tốt, muốn sản phẩm đạt trình độ tiên tiến, thì đến bậc đại học, ngoài các chuyên ngành của ngành khoa học – công nghệ của mình, sinh viên vẫn cần học thêm Toán.
Tại Hàn Quốc, thành công của Toán học ứng dụng đi trước Toán học lý thuyết là nhờ một chính sách phát triển công nghiệp và công nghệ đúng đắn và hợp lí. Ở đó, người có kiến thức Toán tốt có thể tham gia trực tiếp vào quá trình sản xuất. Họ có thu nhập tốt, đóng góp tích cực cho sự phát triển kinh tế, mà lại không bị mang tiếng là bỏ nghề. Chất xám không bị lãng phí. Với sự phân công lao động hợp lí, Toán học được ứng dụng thật sự, mà các nhà Toán học chuyên nghiệp có thể yên tâm giảng dạy, nghiên cứu, không bị mang tiếng nghiên cứu viễn vông. Nhờ vậy, nền kinh tế Hàn Quốc đã nhanh chóng thoát khỏi lạc hậu.
3. Xã hội càng phát triển thì vai trò đào tạo Toán học ở bậc phổ thông và đại học càng quan trọng. Để đảm bảo nguồn nhân lực cho công cuộc đào tạo này cần phải có máy cái sản sinh ra nhân lực cao cấp trong Toán. Do vậy, tuy không cần quá nhiều nhà Toán học chuyên nghiệp (bao gồm cả các giáo sư đại học về Toán), nhà nước phải có tầm nhìn xa, có đầu tư thích đáng để xây dựng một nền Toán học mạnh.
Cả trong giai đoạn đưa đất nước ra khỏi tình trạng kém phát triển cũng như giai đoạn xây dựng một nền kinh tế tiên tiến, Toán học có phát huy được tác động rộng lớn và sâu sắc của nó hay không phụ thuộc vào nhận thức của xã hội (bao gồm cả các tập đoàn, công ty), vào các chính sách đồng bộ của Nhà nước và sự cố gắng của bản thân cộng đồng Toán học. Chỉ mỗi cộng đồng Toán học thì không khác nào chàng kị sĩ Don Quixote chiến đấu với chiếc cối xay gió.

Lê Tuấn Hoa dịch

Nguồn: http://www.mathunion.org/cdc/menao/program/

=============================

Chú thích:

1:  Đúng ra là năm nước đầu.
2: Có tất cả năm nhóm. Tùy theo trình độ Toán học và nếu đủ khả năng đóng góp hội phí, IMU sẽ xét tăng hạng của từng nước.

—————–&&—————-

Nobel kinh tế năm 2013 với toán học và thống kê toán học

Nobel kinh tế năm 2013 với toán học và thống kê toán học

(Nguồn: vienthongke.vn)

Như ta đã biết, giải Nobel kinh tế 2013 đã thuộc về 3 người Mỹ : Eugene Francis Farma (74 tuổi, giáo sư về Tài chính tại ĐH Chicago), Lars Peter Hansen (60 tuổi, giáo sư Kinh tế ĐH Chicago) và Robert James Shiller (67tuổi, giáo sư Kinh tế ĐH Yale). Có hai điều cần nói ngay: Một là với Fama và Hansen, ĐH Chicago đã có 12 người đoạt giải Nobel, là số người đoạt giải nhiều nhất nước Mỹ (và có lẽ nhiều nhất trong các đai học trên toàn thế giới), đứng thứ hai toàn nước Mỹ là ĐH Havard với 6 người đoạt giải; Hai là công trình được giải của 3 vị này đều liên quan chặt chẽ đến Toán học và Thống kê toán học.Cống hiến của các ông là đã đưa ra đựoc những phương pháp hiện đại định giá tài sản có ứng dụng to lớn trong kinh tế, tài chính. Cần nói thêm rằng tài sản (asset) ở đây phải được hiểu là tài sản tài chính (financial asset): kể cả lúa gạo, than đá, dầu mỏ, khí đốt…tất cả đều được buôn bán thông qua các hợp đồng tài chính, tức là những giấy tờ có mệnh giá, đối tượng của thị trường tài chính.

  • Trước tiên, hãy nói về E.Fama. Ông này được xem như cha đẻ của Lý thuyết Thị trường hiu qu, (đúng ra là lý thuyết về Githuyết thị trường hiu qu: Efficient Market Hypothesis-EMH). Hai nguyên lý cơ bản của giả thuyết này là :

1/ Trong một thị trường hiệu quả, mỗi thành viên tham gia thị trường đều được tiếp cận ngang nhau mọi thông tin về thị trường, nói gọn là “ai cũng biết hết mi thông tin vthị trường”.

2/ Mọi biến động trên thị trường phải được phản ánh tức khắc vảo giá cả hàng hóa trên thị trường.

Thí dụ, thị trường bất động sản ở Việt Nam không phải là thị trường hiệu quả: quy hoạch đất đai thường bị dấu kín, những quan chức chia chác các vùng đất béo bở rồi mới hé lộ cho dân chúng biết. Điều này vi phạm giả thuyết thứ 1 về thị trường hiệu quả. Công cụ toán học chính của lý thuyết này là: xác suất có điều kiện, lý thuyết martingale, đó là những nội dung quan trọng của lý thuyết xác suất.

Ở Việt Nam, từ lâu đã có những người nghiên cứu về lý thuyết này. Một luận án Tiến sĩ đã được bảo vệ, nhiều luận văn Cao học đã được hoàn thành, nhiều báo cáo, bài giảng và seminar về vấn đề này trong Toán Tài chính đã được trình bày. Gần đây một nhóm tác giả đã dựa vào lý thuyết này để chứng minh bằng kiểm định thống kê rằng Việt Nam không có thị trường hiệu quả, mặc dù kết luận đó có thể nhận thức được bằng các phương pháp dbáo expert.

Còn có một giai thoại thú vị về EMH như sau : Eugene Fama và Merton Miller (ông này vốn là thày của Fama) cùng đi dạo trong công viên Hyde Park đông người ở Luân đôn, chợt hai người trông thấy một tờ 20 bảng Anh ở dưới đất. Fama thản nhiên bước qua, Miller liền hỏi:”Sao anh không nhặt nó lên?” Fama trả lời :” Đó là tiền giả”, “Sao anh biết?” Miller hỏi lại. Trả lời :” Nếu là tiền thật thì ắt có người đã nhặt rồi!” Đó là do cái lý sự của EMH : Thông tin “ đồng tiền ấy là giả” bàn dân thiên hạ đều biết hết cả rồi nên không ai thèm lấy đó thôi, mình nhặt lên làm gì!

Cần nói thêm, Merton Howard Miller (1923-2000) cũng là giáo sư kinh tế ở ĐH Chicago, cũng từng đoạt giải Nobel kinh tế (1990) cùng với Harry Markowitz và William Sharpe là những tên tuổi nổi tiếng về Toán Tài chính.

  • L. Hansen làm việc trong lĩnh vực Kinh trc hc ( Econometrics). Đóng góp nổi tiếng của ông là Phương pháp mômen mở rộng ( Generalized Method of Moments,GMM).

Ta biết rằng phương pháp mômen cổ điển dựa trên Ước lượng hp lý cực đai (Maximum Likelihood Estimation- MLE) của Fisher. Trái lại, GMM cho phép giải quyết những bài toán mà ở đó MLE cổ điển chịu bất lực, và số bài toán này trong kinh tế lại rất nhiều. Hansen đã xây dựng nên những ước lượng có đủ các tính chất thống kê tốt như tính tương thích(consistency), tính tiệm cận chuẩn (asymptotic normality), tính hiệu quả (efficiency) nhưng với những giả thiết nhẹ hơn như đối với MLE.

Hansen còn nhiều công trình khác liên quan đến Giải tích ngẫu nhiên. Hãy kể tên vài kết quả mới nhất: 1/ Stochastic Compounding and Uncertain Valuation; 2/ Dynamic Valuation Decomposition Within Stochastic Economies (công cụ chính là Phương trình vi phân ngẫu nhiên); 3/ Recursive Utility in a Markov Environment With Stochastic Growth (công cụ chính là lý thuyết các quá trình Markov).

Trả lời câu hỏi qua điện thoại của phóng viên báo mạng Nobelprize.org ở Stockholm vài phút sau khi giải thưởng được công bố, đề nghị mô tả dễ hiểu công việc ông làm, Hansen có nói đại ý là ông nghiên cứu về giá tài sản trên cơ sở tập trung vào các mối liên hệ giữa kinh tế vĩ mô và các thị trường chứng khoán.

  • R. Schiller nghiên cứu các lĩnh vực: Tài chính hành vi ( Behavioral Finance), Thị trường bất động sản, và Quản trị rủi ro.

Năm 1981, ông công bố một bài báo thách thức Giả thuyết thị trường hiệu quả, ông lập luận rằng trong một thị trường hợp lý, các nhà đầu tư căn cứ vào giá chứng khoán dựa trên thu nhận trung bình về cổ tức. Qua khảo sát thị trường chứng khoán Mỹ từ năm 1920, ông đã xét các loại kỳ vọng của cổ tức tương lai và hệ số chiết khấu (tính lùi) đến giá hiện tại mà có thể làm biến đổi giá cả trên thị trường chứng khoán . Schiller kết luận rằng độ biến động (volatility) trong thị trường chứng khoán đều đã lớn hơn mọi dự đoán có thể hợp lý trước đó. Năm 1991, Shiller cùng với hai nhà kinh tế khác là Karl Case và AllanWeiss lập nên công ty Case-Shiller-Weiss và đã đưa ra được một loại chỉ số để nghiên cứu xu hướng giá nhà đất, gọi là chỉ số Case-Schiller. Chỉ số đó về sau được hãng đánh giá tín nhiệm S&P phát triển, tạo thành chỉ số S&P/Case-Schiller để đo sức khỏe của các nền kinh tế rất có hiệu quả. Từ năm 2003, Công ty cũng nghiên cứu và dự đoán về bong bóng kinh tế ( economic bubble).Năm 2006, chính Schiller đã dự đoán chính xác về sự vỡ bong bóng thị trường bất động sản Mỹ và sự xuống dốc của nền kinh tế Mỹ. Đúng một năm sau dự đoán của Schiller, năm 2007, Lehman Brothers, tập đoàn Tài chính-Ngân hàng lớn thứ tư của Mỹ, sụp đổ, mở đấu cho thời kỳ suy thoái của kinh tế Mỹ và kéo theo suy giảm của nền kinh tế thế giới.

Năm 2010, Shiller đã được trao giải thưởng của Ngân hàng Đức về kinh tế tài chính. Năm 2011, ông được tạp chí Bloomberg Markets xếp hạng là một trong 50 người có ảnh hưởng nhất thế giới trong ngành Tài chính

Ngay từ năm 2012, tập đoàn Thompson-Reuters đã cho rằng Shiller xứng đáng được giải Nobel với các cống hiến quan trọng của ông về độ biến động, về dự báo diễn biến giá chứng khoán. Với nhãn quan sắc bén của một nhà kinh tế, Schiller đã dùng nhiều công cụ toán học như Kỳ vọng có điều kiện, Thống kê ổn định ( Robust Statistics), Thống kê nhiều chiều, Hồi quy có trọng số,..

Có một điều nhận xét là : Các công trình nổi tiếng của cả ba ông này với các công cụ toán học sâu sắc, đã ra đời khá lâu trước khi được nhận giải Nobel : EMH của Fama ra đời vào đầu những năm 1960, GMM của Hansen năm 1982 còn Schiller đưa ra chỉ số đánh giá kinh tế quan trọng vào đầu thập niên 90 của thế kỷ trước. Lý do rất đơn giản: lý thuyết sâu sắc đến mấy cũng chỉ là các công cụ, phải qua quá trình phát huy tác dụng để chứng tỏ được hiệu quả của nó trong đời sống kinh tế xã hội thực tế thì mới được xác nhận giá trị. Tác giả của phương pháp mômen cổ điển và phân tích phương sai trong thống kê toán học, giáo sư Ronald Aylmer Fisher (1890-1962)- người có học trò nổi tiếng là C.R. Rao- không kịp được xét giải Nobel vì ông đã mất trước khi người ta thấy rõ phương pháp thống kê của ông phát huy tác dụng trong kinh tế và trong sinh học.

Lại nhớ đến mô hình Black-Scholes trong Toán Tài chính. Với mô hình về việc định giá một quyền chọn (option) kiểu châu Âu này, hai chàng tiến sĩ toán học trẻ khi đó là Fischer Black (28 tuổi) và Myron Scholes (32 tuổi) không ngờ rằng việc công bố nó ngay lập tức đã trở thành một breaking event, làm thay đổi toàn bộ việc tính toán giá chứng khoản trên thị trường tài chính New York khi đó. Tuy vậy, phải chờ cho đến 23 năm sau, mô hình này cùng với sự phát triển của Robert C. Merton mới được trao tặng giải Nobel kinh tế (1996), khi đó Black đã qua đời, và người lĩnh giải là Merton và Scholes.

Không có Nobel cho Toán học (bao gồm cả Thống kê toán học). Nhưng Toán học là cỗ máy, là động lực và phương tiện tạo ra những kết quả tuyệt vời trong kinh tế, tài chính và trong nhiều ngành khác để phục vụ sự phát triển của xã hội.

T.H.T

——————&&——————-

Nói chuyện về toán ứng dụng

Nói chuyện về toán ứng dụng

(Tác giả: Ngô Bảo Châu & Ngô Quang Hưng – Nguồn: tiasang.com.vn)

[Ngô Bảo Châu phỏng vấn Ngô Quang Hưng]
Trong năm 2013, tôi có trao đổi với nhiều người về việc làm toán ứng dụng ở Việt Nam. Những cuộc trao đổi này đem đến cho tôi nhiều câu hỏi hơn là câu trả lời, nhiều quan điểm tưởng chừng như không thể dung hoà được. Tôi có cảm tưởng rằng lý do một số người có những quan niệm hơi cực đoan là bản thân họ không làm toán ứng dụng, những gì họ phát biểu phản ánh mong ước của họ chứ không phải kinh nghiệm thực tế. Tôi có chia sẻ những băn khoăn của mình với anh Ngô Quang Hưng, một người làm toán ứng dụng đúng nghĩa, hiện công tác tại Khoa Khoa học Máy tính, Đại học Bang New York ở Buffalo. Tôi thấy cuộc trao đổi này đã rất bổ ích cho tôi và vì thế muốn chia sẻ nó với độc giả của Tia sáng.
1) Hè năm ngoái (2013), ở VIASM* đã có một cuộc tranh luận khá căng về việc làm toán ứng dụng ở Việt nam. Qua cuộc tranh luận này, tôi nhận ra rằng nhận thức chung về toán ứng dụng còn rất yếu, chủ yếu ở mức định kiến của những người không làm toán ứng dụng nghĩ về toán ứng dụng. Anh Hưng có thể chia sẻ hiểu biết, kinh nghiệm của mình trong việc làm toán ứng dụng ở Mỹ được không?

Mỗi lần đọc các tranh luận về Toán ứng dụng, Toán thuần tuý, và ứng dụng toán, tôi lại nhớ đến một tranh biếm hoạ ở xkcd (trang tranh biếm hoạ rất nổi tiếng trong đám làm máy tính). Tranh đại khái nói thế này: anh tâm lý học bảo chị xã hội học là xã hội học chẳng qua là tâm lý ứng dụng, chị sinh vật học bảo tâm lý học chỉ là sinh học ứng dụng, anh hoá học nói sinh học thì là hoá học ứng dụng, chị vật lý bảo tất nhiên hoá học là vật lý ứng dụng, và nhà toán học trố mắt nhìn nhà vật lý.

Nếu ta vẽ ra cái đồ thị ảnh hưởng lẫn nhau giữa các dòng tư duy thì ta có một cái rừng khổng lồ của tri thức nhân loại. Ta không thể lấy một cái cây ở đầu tây, và một cái cành ở đầu đông của rừng, xong rồi đặt câu hỏi và thảo luận về ảnh hưởng của cây tây sang cành đông. 

Tôi nghĩ một vấn đề cốt lõi là một sự lệch pha giao tiếp giữa các nhà Toán học, các nhà khoa học, các doanh nghiệp, nhà quản lý, và công chúng nói chung. Chuyện này không có gì đáng ngạc nhiên khi mà bản thân giới Toán học cũng có những tranh luận về Toán thuần tuý và Toán ứng dụng. Ví dụ, cho đến những năm 50, 60 của thế kỷ trước thì không ít nhà Toán học còn không cho Toán tổ hợp là Toán “thật sự”. Tình hình này đến nay đã được cải thiện phần nào, do Toán tổ hợp cộng các phương pháp xác suất đã có … ứng dụng nhiều nơi cả trong lẫn ngoài Toán.

Trách nhiệm chính để chỉnh pha giao tiếp nằm ở những người như anh và tôi: những người làm Toán, làm Toán ứng dụng, và ứng dụng Toán. Chúng ta cần tìm cách truyền đạt ba ý chính một cách thuyết phục.

Ý thứ nhất là Toán học và Khoa học nói chung (thế giới hay Việt Nam) sẽ phát triển phong phú nhất khi từng cái cây trong rừng tri thức được tự thân phát triển một cách hữu cơ, hay nói như anh trong hội thảo sơ kết là “Khoa học phát triển chủ yếu từ nội lực của nó”. Một cách rộng hơn thì một xã hội sẽ vận hành hiệu quả khi nhiều người có cơ hội theo đuổi tự do sở trường và sở thích của họ. Khi anh được giải Fields, tôi đã thấy những câu hỏi kiểu như “thế công trình của anh Châu có ý nghĩa gì trong cuộc sống”? Một cách hơi khập khiễng, câu hỏi này có tinh thần giống như câu hỏi “tại sao Gary Kasparov lại không thi bơi với Michael Phelps?”

Ý thứ hai là lịch sử 2500 qua cho thấy sự phát triển hữu cơ — tưởng chừng như bất định hướng — của Toán học, lại có những ứng dụng kỳ diệu. Nhà Vật Lý Eugene Wigner đã tóm tắt sự kỳ diệu này trong một bài luận nổi tiếng hồi 1960, đề tựa tạm dịch là “Hiệu lực phi lý của Toán học trong các Khoa học Tự nhiên”. Một ví dụ tuyệt vời là sự phát triển của số phức. Từ Cardano cho đến thậm chí cả Euler, căn bậc 2 của số âm là một thao tác hình thức. Thế mà số phức lại trở nên một thành tố không thể thiếu của điện từ, xử lý tín hiệu, cơ học lượng tử, v.v. Chúng ta không có điện thoại di động nếu không có số phức. Các ví dụ gần gũi hơn thì ta có thể đọc Richard Hamming trong bài “Hiệu lực phi lý của Toán học”. Trong Khoa học Máy tính có vô vàn ví dụ. Những tranh luận mang đậm tính triết học về nền tảng của Toán học hồi đầu thế kỷ 20 đã dẫn đến công trình của Godel và Turing, đến lý thuyết hàm đệ qui, là nền tảng cho lý thyết tính toán, thuật toán, và cho nhiều ngôn ngữ lập trình. Có thể nói không ngoa là “trò chơi” phân loại các tập hợp vô hạn của Cantor lại góp phần không nhỏ vào sự thành lập mạng xã hội. Thế nên sẽ khá oái oăm khi người ta lên Facebook bằng iPhone, rồi hỏi Toán có ứng dụng gì trong cuộc sống không?

Ý thứ ba là nhiều người ngoại đạo không hiểu tầm quan trọng của Toán học vì thiếu một tư duy Toán, và điều này góp phần không nhỏ đến sự lệch pha. Ở đây trách nhiệm nằm ở hệ thống giáo dục từ phổ thông đến đại học, và hoàn toàn không phải là vấn đề riêng của Việt Nam. Cách trình bày Toán kiểu Bourbaki dẫn đến hai vấn đề. Thứ nhất là những học sinh có tư duy logic tốt vẫn thao tác hình thức để làm bài được, nhưng đến khi “ra đời” thì không biết dùng các thao tác hình thức này vào các vấn đề cụ thể, kể cả khi thật sự có thể áp dụng được. Thứ hai, những học sinh thấy trò thao tác hình thức này là khô khan thì hoặc là chán không học, hoặc thậm chí phát triển một tâm lý sợ toán. (Tất nhiên ở đây ta loại ra các học sinh như anh Châu, cảm được mỹ học trong các patterns tưởng như chỉ có tính hình thức — và do đó anh mới thành nhà Toán học!) Do thiếu tư duy Toán nên người ta không nhận thức được giá trị của Toán, và có rất nhiều vấn đề thường nhật đáng lý có thể giải quyết bằng Toán học thì họ cũng không nhận ra nốt. Xin lấy ví dụ, tôi đã nghe không ít lần các bạn làm quản trị nói rằng công việc hàng ngày của họ không cần đến giải phương trình bậc hai, cho nên mấy năm phổ thông è cổ tính đạo hàm tích phân thật là phí phạm. Thật đáng tiếc, và các anh chị bên ngành Khoa học Quản lý chắc phải nhăn nhó lắm khi nghe điều này: họ dùng phương trình vi phân để xây dựng mô hình kinh doanh hàng hoá, quảng cáo, giá cả, họ dùng quy hoạch tuyến tính và quy hoạch nguyên cho các vấn đề vận trù trong công ty, dùng các phương pháp thống kê hiện đại để phân tích dữ liệu khách hàng, dự toán kế hoạch marketing tương lai. Không thể có một doanh nghiệp tầm cỡ Amazon nếu họ không biết giải quyết các bài toán vận chuyển, đóng gói, và phân tích dữ liệu khách hàng bằng các công cụ Toán học và công cụ máy tính.

2) Trong cuộc thảo luận, tôi nhớ anh Hồ Tú Bảo có nói rằng cần phân biệt giữa toán ứng dụng và ứng dụng của toán. Trong toán ứng dụng, ta vẫn phải ấy ý tưởng mới độc đáo làm trọng tâm, công bố làm chỉ tiêu để đánh giá.Trong khi đó, đối vơi ứng dụng của toán, thì lại phải đánh giá bằng sự tiếp nhận của thị trường. Nếu đặt anh Hưng vào địa vị người quản lý khoa học, thì anh có phân biệt rạch ròi như thế không? Có thể chỉ đánh giá công trình toán ứng dụng chỉ bằng công bố hay không?

Thành thực mà nói, tôi không thích cụm từ “Toán ứng dụng”. Người làm Toán khám phá ra chân lý và cái đẹp trong thế giới Toán học tuỳ theo sở thích. Việc chọn đề tài tuỳ vào cả sở trường lẫn thị hiếu Toán học. Thị hiếu Toán học thường được phát triển từ năng khiếu thẩm mỹ cá nhân và ảnh hưởng của dòng chảy tri thức chung của nhân loại. Và do đó, những đóng góp quan trọng bao giờ cũng có “ứng dụng”, đối với người này thì là ứng dụng hình học đại số vào giải quyết một vấn đề số học, còn với người khác là ứng dụng số học để tạo ra bitcoin. Trong các ứng dụng như vậy, người làm Toán thường phải sáng tạo ra những kỹ thuật mới, định nghĩa mới, định lý mới, đóng góp vài nhánh cây vào cái rừng tri thức. Đối với tôi, vấn đề có phải là “Toán ứng dụng” không hoàn toàn không quan trọng. Cái quan trọng là bài toán và lời giải có “đẹp” không. Như Hardy từng nói: “không có chỗ vĩnh hằng cho Toán xấu xí”. Cái đẹp và sự độc đáo có phần giao rất lớn, nhưng không hẳn là bằng nhau.

Nếu đặt tôi vào vị trí người quản lý, thì tôi sẽ nghiên cứu rất kỹ báo cáo của Vannevar Bush hồi 1945. Số là, cuối 1944, tổng thống Mỹ Franklin D. Roosevelt (FDR) viết một bức thư gửi tiến sĩ Vannevar Bush, nguyên giám đốc phòng nghiên cứu và phát triển khoa học của chính phủ Mỹ. Trong thư, FDR đề nghị Bush viết một báo cáo chiến lược cho nhà nước Mỹ về việc làm thế nào để kích thích cách hoạt động nghiên cứu phát triển cả công lẫn tư, làm thế nào để cho các đầu tư nghiên cứu công tư hoạt động đồng bộ, kích thích các tài năng trẻ theo đuổi nghiên cứu khoa học cơ bản cũng như ứng dụng vào cải thiện cuộc sống. Không may là tổng thống FDR qua đời vàng tháng 4 năm 1945 do xuất huyết não. Phó tổng thống Henry Truman kế nhiệm. Tiến sĩ Vannevar Bush hoàn tất bản báo cáo và gửi cho Truman.

Tất nhiên câu trả lời của tôi đã lạc đề, đi ra ngoài vòng “Toán ứng dụng” mà nói đến đầu tư khoa học nói chung. Nhưng tôi tin rằng hai vấn đề này là một. Tôi thấy bản báo cáo của Vannevar Bush là một tuyệt tác, trả lời rốt ráo câu hỏi của anh.

Một trong những ý tưởng quan trọng nhất của bản báo cáo là “xem trọng nghiên cứu cơ bản”, “biết phân biệt nghiên cứu cơ bản và phát triển ứng dụng công nghệ”. Nhiều công ty lớn sau đó đã được tổ chức theo ý này: thành lập cả phòng nghiên cứu cơ bản và nuôi các khoa học gia làm “chuyện trên trời”. Ví dụ cụ thể là các nhà khổng lồ AT&T, IBM, Microsoft, hay Xerox, đều có các phòng nghiên cứu cực mạnh. Bell Labs của AT&T thắng 6 giải Nobel với các phát kiến như laser và con transistor. IBM có 3 giải Nobel. Palo Alto Research Centre của Xerox sáng chế nhiều thành phần không thể thiếu của máy tính cá nhân (con chuột, giao diện đồ hoạ, Ethernet). Đó là từ các doanh nghiệp tư. Còn từ đầu tư công thì bản báo cáo này đã đề nghị thành lập, và sau đó trực tiếp dẫn đến sự thành lập của Quỹ Khoa học Quốc gia Mỹ (National Science Foundation, viết tắt là NSF) dựa trên National Science Foundation Act. Phần lớn các ngành nghiên cứu khoa học cơ bản của Mỹ đều dùng tiền của quỹ này là chính, mặc dù nó chỉ đóng góp khoảng 20% tổng số ngân quỹ liên bang tài trợ khoa học. (NIH, DARPA, DoD, DoE, v.v. đóng góp 80% còn lại. Riêng NIH, dành cho các ngành y sinh học, có ngân sách cực lớn, khoảng 30 tỉ USD một năm.) Đầu tư công vào nghiên cứu khoa học đã góp phần lớn dẫn đến sự ra đời của Internet.

Một cách ngắn gọn hơn cho câu hỏi của anh, giới chuyên môn đánh giá một công trình Toán học (“ứng dụng” hay không) bằng thẩm mỹ Toán học. Còn các nhà tài trợ, công hay tư, họ có cách đánh giá riêng của họ khi tài trợ cho đề tài. Anh A thì dùng thị phần, chị B thì dùng chỉ số ảnh hưởng, chuyện đó không nhất thiết là có liên quan đến chân trị của công trình Toán học.

3) Giả sử một đề tài ứng dụng rất tốt, rất hiệu quả,được thị trường tiếp nhận, tôi vẫn hơi băn khoăn về sản phầm đầu ra. Ví dụ như đó là một phần mềm có thể đem đi bán được, thì liệu việc dùng tiền ngân sách để làm ra một sản phẩm rồi sản phầm đó lại sinh ra lợi nhuận cho bản thân người làm đề tài thì có gì là mâu thuẫn không? Các nước khác người ta giải quyết vấn đề này như thế nào.

Tôi nghĩ không có gì mâu thuẫn cả. Kể cả khi ta tài trợ cho một nhà Toán học làm Toán thuần tuý thì cũng sinh lợi cho cá nhân nhà Toán học. Vấn đề là ta đánh giá lợi ích công thế nào khi nhà nước đầu tư vào một đề tài.

Nếu tính về lợi ích công thì giữa thành phẩm là một công ty tư nhân thành đạt (dùng tài trợ phần nào của nhà nước) hay thành phẩm là một định lý toán học mới, thì có lẽ công ty có lợi hơn cho xã hội (ít nhất là trong thời hạn ngắn, do thúc đẩy kinh tế và tạo công ăn việc làm). Vì thế, ở Mỹ người ta có chương trình SBIR/STTR để kích thích thương nghiệp hoá cho các công ty nhỏ cần những nghiên cứu rủi ro cao. Do các nghiên cứu có rủi ro cao (nghĩa là xác suất thành công thấp), các công ty nhỏ này khó tìm tài trợ từ các nhà đầu tư tư nhân. Trong khi đó, vai trò của nhà nước, cũng giống như trong việc tài trợ các nghiên cứu khoa học cơ bản, là giúp kích thích các nghiên cứu này để tạo các công nghệ mang tính khai phá (disruptive technologies).

Các chương trình SBIR/STTR ở Mỹ được kế hoạch rất cẩn trọng, chia làm ba giai đoạn. Giai đoạn đầu tiên ít tiền, khoảng 150 nghìn usd trong 6 tháng, là để các cty minh chứng rằng ý tưởng của họ có khả năng khả thi. Giai đoạn hai, nếu minh chứng tốt trong giai đoạn 1, là phát triển ý tưởng chín hơn. Giai đoạn 3 là thương mại hoá sản phẩm thì không dùng tiền SBIR nữa mà họ sẽ đi tìm các nhà đầu tư tư nhân. Năm 2010, tổng đầu tư SBIR/STTR của các tổ chức chính phủ Mỹ như NSF, DARPA, DoE, vân vân, tổng cộng lên đến khoảng hơn 2 tỉ đô. Công ty bảo mật Symantec ra đời từ tiền SBIR.

Nội dung ngành công nghệ nào có SBIR thì tuỳ vào từng cơ quan tài trợ của nhà nước: họ xem ngành công nghệ nào họ cần công nghệ mới hoặc cần một ngành công nghiệp mới phát triển thì họ sẽ viết lời kêu gọi (solicitation) cho đề tài/công nghệ đó. Đây là một cách để nhà nước định hướng phát triển nghiên cứu R&D, đồng thời cho cơ hội thương mại hoá và kích thích kinh tế. Nhiều tiểu bang Mỹ cũng có các chương trình SBIR riêng để kích thích phát triển công nghệ và kinh tế địa phương.

Trong hoàn cảnh Việt Nam ta, còn có những cách khác. Ví dụ, một hợp đồng SBIR made in Vietnam có thể yêu cầu công ty đó phải mở mã nguồn sản phẩm của họ, hoặc để nhà nước đồng sở hữu bằng phát minh. (Điều này ở Mỹ cũng làm.)

4) Một người bạn làm bên dệt may có hỏi tôi tại sao VIASM không tổ chức nhóm nghiên cứu về bài toán xếp lịch công nhân. Ở các xưởng may, công nhân làm việc theo kíp, phải đủ kíp khoảng 10 người thì mới làm được, mỗi kíp phải một số công nhân thạo những công đoạn khác nhau. Mỗi khi công nhân nghỉ ốm làm quản lý nhức đầu. Bài toán này có lời giải tổng quát không, liệu có thể là một đề tài khoa học nghiêm túc hay không?

Những bài toán kế hoạch hậu cần kiểu này (logistic planning, operations) là những bài toán cực kỳ phổ biến trong tất cả các ngành công nghiệp và các doanh nghiệp như hãng dệt may nọ. Về mặt lý thuyết thì bài toán tổng quát là NP-khó, nhưng như vậy không có nghĩa là nó không có lời giải — chỉ là lời giải có thể phải cần nhiều tài nguyên và thời gian tính toán. Các hãng máy bay chẳng hạn, luôn luôn phải giải quyết các bài toán scheduling với nhiều ràng buộc như thế, và vấn đề của các hãng máy bay lớn phức tạp hơn bội phần. Ngoài ra, ta có thể thêm vào các vấn đề về thống kê và dự báo rất cơ bản mà doanh nghiệp nào cũng cần. Tôi nghĩ đây là một đề tài nghiên cứu rất thú vị và hữu ích, làm minh hoạ tuyệt vời cho sự liên kết của Toán Ứng dụng, Khoa học Máy tính, Xác suất thống kê và Vận trù học (operations research).

Ví dụ, ta có thể chia bài toán thành ba thành phần: phần giao diện người dùng, phần ngôn ngữ khai báo, và phần giải quyết bài toán.

Phần giao diện người dùng sẽ bao gồm một chương trình máy tính được thiết kế cụ thể cho từng công ty tại vì từng tổ chức có các yêu cầu khác nhau về bài toán họ cần, với các ràng buộc và giao diện khác nhau. Phần này sẽ phải được “khách hàng hoá” (customize) tối đa thì người dùng mới dùng được.

Phần ngôn ngữ sẽ có một ngôn ngữ dạng khai báo (declarative language) bao gồm cả thành tố của những ngôn ngữ ràng buộc (constraint programming language), ngôn ngữ xác suất (probabilistic programming) và các ngôn ngữ khác tuỳ theo ứng dụng. Phần này được thiết kế để cung cấp một ngôn ngữ máy tính cấp cao — người bảo máy cái gì cần làm chứ không bảo máy là làm sao để làm. Ngôn ngữ này đóng vai trò trung gian, chuyển các yêu cầu của người sử dụng từ từ giao diện sang một ngôn ngữ thống nhất.

Phần ngôn ngữ cho phép ta “dịch” bài toán của người dùng thành một bài toán tối ưu, tìm kiếm, hay thống kê. Từ đây thì các nhà Toán học sẽ áp dụng hoặc sáng tạo các phương pháp tối ưu, thống kê, thiết kế thuật toán mới để giải quyết các bài toán này, và hiển thị lại kết quả cho người dùng.

Phần ngôn ngữ và phần giải quyết bài toán hoàn toàn có thể là sản phẩm công, mã nguồn mở. Phần giao diện có thể do các lập trình viên làm cho từng hãng xưởng. Đây sẽ là một dự án bao gồm từ những nghiên cứu cơ bản nhất của toán học đến giao diện ứng dụng. Những ai làm phần ngôn ngữ máy tính, toán tối ưu, thống kê, và thuật toán sẽ có thể đăng tạp chí như bất kỳ nghiên cứu khoa học cơ bản nào khác. Các tạp chí và hội nghị hàng đầu rất cần những phương pháp và thí nghiệm có dữ liệu thật, giải quyết các bài toán thật!

Tóm lại, câu hỏi của bạn anh không những có thể phát triển thành một đề tài nghiên cứu nghiêm túc, mà còn có thể thành một chương trình nghiên cứu nghiêm túc, miễn là ta nghĩ ra ngoài cái hộp là một hãng dệt may có 10 công nhân.

5) Qua câu trả lời của anh, tôi bắt đầu mường tượng được cách triển khai của một đề tài ứng dụng với những phân đoạn khác nhau, từng phân đoạn có sản phẩm với đặc thù riêng, hoặc là công bố khoa học, hoặc là sản phẩm công nghiệp. Nhưng tôi vẫn còn rất thắc mắc ở khâu đầu tiên: làm thế nào để đặt ra được đề bài đúng ngay từ đầu. Chắc chắc có rất nhiều bài toán mà thực tế sản xuất và cuộc sống đặt ra cho các nhà toán học, nhưng tôi ngờ rằng, không biết có đúng không, đa số các bài toán thực tế là không giải được, ít nhất là với mặt bằng khoa học Việt nam hiện nay. Tôi nghĩ rằng cần tìm ra những bài toán có thể không phải là bài toán cấp thiết nhất, nhưng trông ra có thể làm được, anh có đồng ý như thế không? Nếu có thì làm thế nào mà chọn ra được những bài toán như thế?

Trong một cuộc phỏng vấn, Picasso có nói đại ý rằng “máy tính thì hay ho gì, bọn nó chỉ có câu trả lời!” Hay như anh Sơn nói trong bài anh phỏng vấn anh Sơn: “hai kỹ năng cơ bản của người làm khoa học là tìm ra vấn đề hay và giải quyết được vấn đề”.

Nói cách khác, anh có câu hỏi mấu chốt: chọn đề tài thế nào?

Ở đây, chúng ta có một điểm may mắn. Mặc dù đúng là đa số các bài toán thực tế là các bài toán khó — có thể là quá khó — nếu muốn giải quyết rốt ráo, nhưng câu trả lời cho chúng thường là một cái phổ rất rộng. Ở một bên của phổ là những lời giải cóp nhặt, vụn vặt, mang tính cơ bắp, giải quyết một góc vấn đề. Ở bên còn lại là một hệ thống lời giải đẹp, mang tính phổ quát và ứng dụng vào được nhiều lĩnh vực khác.

Anh lo lắng về cực khó của phổ. Tôi lo về cực dễ của phổ. Tôi lo rằng, nếu không có một quá trình chọn lựa và bình duyệt đề tài tốt, thì có thể chúng ta tiêu tốn vào những đề tài nghe choang choang nhưng lại có rất ít tính sáng tạo khoa học. Ví dụ, khi tôi tham gia các nhóm duyệt đề tài cho NSF, những đề tài trong phân ngành hẹp của tôi thì tôi biết ngay là dễ hay khó, đóng góp có độc đáo hay không, hay chẳng qua chỉ là một đề tài bổ củi. Thế nhưng đi xa khỏi phân ngành hẹp của mình thì bình duyệt một dự án trở nên khó khăn hơn. Các nhà nghiên cứu đã trở thành chuyên gia tung hứng từ ngữ, dùng những danh từ to tát, “nóng”, như những anh bán hàng để hòng loè người không chuyên.

Ngược lại, khi ai nói là làm cái này cái kia “dễ” lắm, ta cũng nên nghi ngờ. Có rất nhiều thứ dễ trên giấy tờ nhưng không dễ trên thực tế. Lập trình một cấu trúc dữ liệu đã tồn tại 40 năm trong sách giáo khoa sao cho tốt là một vấn đề dễ trên giấy tờ, nhưng chỉ có những ai chưa từng làm điều này thì mới cho là nó dễ trên thực tế. Nói như thế có nghĩa là, anh rất nên nghi ngờ câu trả lời của tôi về đề tài hãng dệt may :-). (Về điều này thì tôi nói có cơ sở. Tôi đang cộng tác với một công ty làm một sản phẩm tương tự như tôi mô tả, về phần ngôn ngữ ràng buộc và phần giải quyết bài toán tối ưu.)

Vì những lý do trên, để chọn một đề tài ứng dụng cho tốt thì theo tôi ta cần ít nhất hai thành phần. Thành phần thứ nhất là việc xác lập một phạm vi ứng dụng, viết ra thành một chương trình kêu gọi đề tài (solicitation). Ví dụ, anh có thể xem một chương trình của DARPA về ngôn ngữ xác suất cho học máy (probabilistic programming for machine learning). Tôi lấy ví dụ chương trình của DARPA vì nó có tính ứng dụng cao hơn các chương trình nghiên cứu cơ bản của NSF. Thành phần thứ hai là một đội ngũ bình duyệt đề án hài hoà, bao gồm cả những người làm lý thuyết tốt (để biết bài toán dễ hay khó trên giấy tờ), những người làm thực hành có kinh nghiệm (để biết bài toán dễ hay khó trên thực tế), và có thể cả đại diện của ngành công nghiệp có liên quan (để biết bài toán có đáng giải quyết hay không). Xong rồi để cho họ cãi nhau ba ngày bốn đêm.

Thành phần thứ nhất khó hơn thành phần thứ hai, vì để xác định những chương trình nghiên cứu có giá trị, có cả tính ứng dụng cao lẫn giá trị khoa học phổ quát, thì ta cần một cá nhân có viễn kiến.

6) Theo anh thì các doanh nghiệp Việt Nam cần làm gì, chọn hình thức đầu tư nào, để vừa phục vụ cho lợi ích của mình, vừa phát triển khoa học công nghệ trong đó có toán học? Tôi có cảm tưởng là hiện tại các doanh nghiệp vẫn chỉ dừng lại ở mức độ tiếp thu sản phẩm công nghệ, chế biến cho hợp nhu cầu của thị trường Việt nam hoặc đầu tư vào những thứ có thể gây tiếng vang.

Câu hỏi này quá tầm của tôi, nên chỉ bàn tán lan man hai ý.

Ý thứ nhất, tôi nghĩ câu hỏi này liên quan đến tư duy Toán học tôi đề cập ở câu hỏi thứ nhất. Điều mà một doanh nghiệp có thể làm là cải thiện kiến thức của họ về khả năng ứng dụng kỳ diệu của Toán học. Họ có thể làm điều này bằng cách tài trợ và tham dự các seminars, workshops, hay hội nghị Toán ứng dụng liên quan đến ngành công nghiệp của họ, để biết “trên thế giới này có cái gọi là A, B, C” có khả năng cải thiện nhiều khía cạnh trong doanh nghiệp của họ. Ví dụ, liên quan đến công nghệ thông tin, các hội nghị như SIGMOD (cơ sở dữ liệu), SIGGRAPH (đồ hoạ), SIGCOMM (mạng máy tính) có cực kỳ nhiều các nhà tài trợ là các công ty hàng đầu về cơ sở dữ liệu, mạng, hay đồ hoạ máy tính. Họ rất thường gửi nhân viên của họ đi báo cáo và tham dự, học hỏi thêm ở những hội nghị này. Nếu không tính việc học hỏi được gì, thì ít nhất họ cũng có cơ hội tìm nhân viên tốt ở những hội nghị như vậy.

Ý thứ hai, liên quan đến sự lệch pha tôi đề cập ở câu hỏi 1, các doanh nghiệp, trường đại học, và viện nghiên cứu nên có thêm nhiều kênh giao tiếp, trao đổi các vấn đề của nhau, học hỏi các giải pháp của nhau. Không nhất thiết là ta phải có hội nghị, báo cáo rình rang đăng báo tốn tiền. Ta có thể có các buổi gặp gỡ thân mật, không bia bọt, thuần tuý chia sẻ kiến thức. Sự giao thoa các sở thích và sở trường sẽ là một môi trường tuyệt hảo để phát triển ý tưởng, phát triển các công trình cộng tác giữa các bên.

7) Anh có lời khuyên nào cho tôi trong công việc triển khai nghiên cứu toán ứng dụng ở VIASM không?

Vấn đề này rất dễ trên giấy tờ và rất khó trên thực tế. Dù đã tin chắc anh sẽ thành công, vẫn thân chúc anh thuận buồm xuôi gió!

— 

*Viện nghiên cứu cao cấp về Toán

————&&————-

Toán ứng dụng trong kinh tế

Vai trò của Toán trong Kinh tế

(Tác giả: Trần Nam Bình – Viện Đại học New South Wales, Úc)

Applied Mathematics In Economics

Applied Mathematics In Economics

1. Vai trò hiện nay của toán trong kinh tế học (Toán ứng dụng trong kinh tế)

Trước khi thảo luận vai trò của toán trong kinh tế, chúng ta nên xem xét ý nghĩa của hai từ: kinh toán học (mathematical economics) và kinh tế lượng học (econometrics).  Từ nhiều năm nay, sinh viên kinh tế trên khắp thế giới, kể cả Việt Nam, rất quen thuộc với hai từ này. Danh từ kinh toán học thường được dùng với hai nghĩa chính sau đây:

  • Một ngành riêng biệt của bộ môn kinh tế trong đó sự ứng dụng và phát triển của các kỹ thuật toán được dùng để làm sáng tỏ các vấn đề kinh tế;
  • Một tập hợp các phương pháp phân giải dùng để trình bày, phân tích và thông hiểu các hiện tượng kinh tế.

Nhiều người xem kinh toán học là phần tương ứng lý thuyết của kinh lượng học, một ngành có mục đích phân giải các hiện tượng kinh tế bằng các phương pháp thống kê.  Tuy nhiên, sự phân chia này có tính cách tiện lợi, giáo khoa hơn là xác thật bởi vì thống kê cũng chỉ là một ngành toán.  Rất nhiều nhà kinh tế hiện đại làm việc trong cả hai lĩnh vực này.  Vì thế chúng ta có thể xem kinh lượng học là một ngành trong kinh toán học.

Dù kinh toán học được thông hiểu theo nghĩa nào đi nữa, chúng ta thấy rõ toán đóng một vai trò không thể thiếu trong kinh tế học. Vai trò này đuợc thể hiện qua nhiều khía cạnh khác nhau, từ giảng dạy, nghiên cứu đến chính sách kinh tế. Dễ thấy nhất là sự phổ thông của từ kinh toán học trên mạng Internet. Đánh chữ “mathematical economics” (trong ngoặc kép) vào Google, chúng ta sẽ kiếm thấy hơn một triệu mục từ cho từ này (tuy rằng nhiều mục từ trùng nhau).

Về phương diện giáo dục và đào tạo, sinh viên cử nhân môn kinh tế tại phần lớn các đại học trên toàn thế giới đều phải bắt buộc học một vài môn toán và thống kê nhập môn.  Ngoài ra, hệ thống tín chỉ linh động cho các ngành khoa học xã hội còn cho phép sinh viên kinh tế theo chuyên đề toán, hoặc theo học các môn có sẵn trong ban kinh tế, hoặc học thẳng từ ban toán. Khi học bằng cử nhân kinh tế cách đây hơn 30 năm, tôi đã chọn khoảng 25% tổng số môn học từ ban toán.  Tôi học toán giải tích đến năm thứ ba và làm một đề án vận trù học năm thứ tư. Ngày nay, nhất là tại các quốc gia nói tiếng Anh, một số đại học còn phát bằng cử nhân với danh hiệu “kinh tế và toán” hay “toán và kinh tế”.  Một vài thí dụ tiêu biểu bao gồm Đại học Yale (Mỹ), London, Essex và Warwick (Anh), và Newcastle và Wollongong (Úc).  Khi lên đến cấp hậu đại học, sinh viên cao học và tiến sĩ ngành kinh tế nhất thiết phải đạt đến một trình độ toán tối thiểu nào đó, nếu không sẽ rất chật vật trong việc hoàn tất các môn học bắt buộc.

Dụng cụ chính yếu của giảng dạy là sách giáo khoa. Mở bất cứ cuốn sách giáo khoa kinh tế nào ra, dù là vi mô hay vĩ mô, dù là nhập môn hay cấp cao, người đọc cũng dễ dàng nhận thấy vai trò quan trọng của toán, nhất là đại số và vi tích sơ cấp, trong việc trình bày và truyền đạt các ý niệm và lý thuyết kinh tế.  Mức quan trọng của toán trong kinh tế có xu hướng càng lúc càng tăng, nhất là với các mô hình lý thuyết về thị truờng tài chính trong hai, ba thập kỷ sau này.  Điều này cũng đúng cho các tạp chí học thuật trong bất cứ tiểu ngành nào của bộ môn kinh tế. Đa số các nhà kinh tế ngày nay thích dùng toán để diễn đạt các kết quả nghiên cửu của mình. Chỉ cần nhìn thoáng qua ba tạp chí học thuật hàng đầu của kinh tế (Jounal of Political Economy, American Economic Review và Econometrica) là đủ.  So sánh các tạp chí học thuật kinh tế ngày nay với 50 năm trước cho thấy sự gia tăng ghê gớm của các biểu thức toán.  Blackhouse (1998) báo cáo tỉ lệ bài viết dùng đại số trong hai tạp chí American Economic Review và Economic Journal (tạp chí hàng đầu tại Mỹ và Anh) tăng từ dưới 10% năm 1930 đến khoảng 75% năm 1980 (xem thêm Grubel và Bolan, 1986; Dow, 1999).

Trên bình diện chính sách kinh tế, các mô hình kinh toán và kinh lượng được các viện nghiên cứu và các cơ quan chính phủ sử dụng rộng rãi và thường xuyên trong việc đánh giá và dự báo ảnh hưởng của các chu trình, xu hướng kinh tế hay các chính sách kinh tế công (đang đuợc đề nghị hay đã được thực thi).  Không kể các viện nghiên cứu công và tư, các cơ quan chính phủ bao gồm: Bộ Kinh tế, Ngân hàng Quốc gia, Tổng cục Thuế, Tổng cục Thống kê, v.v.  Các mô hình được sử dụng bao gồm: cân bằng tổng thể khả tính (computable general equilibirium model), kinh lượng vĩ mô quy mô lớn (large scale maccoeconomic econometric model), mô  hình  hoá vi mô  (microsimulation model), chuỗi thời gian (time series), v.v. (xem, thí dụ như, Bank of England, 1999; Statistics Canada, 2002; Centre of Policy Studies, 2006).

Nhưng đóng góp của toán học trong kinh tế có lẽ được biểu hiện rõ ràng nhất qua danh sách 58 nhà khoa học đoạt giải Nobel kinh tế, giải thưởng học thuật cao quý nhất của kinh tế học, từ khi giải này ra đời năm 1969.  Trong danh sách này, đa số đều có thể xem là nhà kinh toán hay kinh lượng học.  Những người không dùng toán làm dụng cụ chính trong việc truyền bá lý thuyết kinh tế của mình chỉ là thiểu số.  Có những toán gia thuần túy đã từng thắng giải Nobel kinh tế, thí dụ như Leonid Kantorovich và John Nash.  Nhà bác học cuối cùng, John von Neumann, nếu sống đủ lâu, chắc chắn nhận giải Nobel kinh tế cho thuyết trò chơi của ông.  Rất nhiều người thắng giải Nobel đã chuyển sang lĩnh vực kinh tế từ gốc thuần toán như Gérard Debreu, Kenneth Arrow, Robert Aumann, Tjalling Koopmans, v.v.  Điều này cho thấy tính nghiêm túc của toán rất phù hợp cho lý thuyết  kinh tế và khẳng định vai trò gần như độc tôn của toán trong kinh tế học.

Tuy nhiên vai trò của toán trong kinh tế không phải là không gặp chống đối. Ngay từ thế kỷ 18, nhiều học giả đã cảnh cáo ứng dụng của toán trong kinh tế và xu hướng này vẫn tiếp tục cho đến ngày nay. Thí dụ, trường phái Áo tin rằng tất cả những gì ra ngoài lý luận đơn giản thường là không cần thiết hay không thích hợp cho kinh tế.  Những người chỉ trích vai trò của toán trong kinh tế có thể chia thành hai loại. Loại thứ nhất chối bỏ vai trò của phương pháp toán trong kinh tế. Họ cho rằng hệ thống kinh tế phản ánh sự tương tác của con người, không phải là một hệ thống thiên nhiên, do đó vật lý hay toán học không phải là những phương pháp thích ứng để tìm hiểu, phân tích và thông hiểu kinh tế học. Loại thứ hai, ít cực đoan hơn, phản đối sự lạm dụng của toán trong kinh tế vì nó sẽ dẫn đến sự đào thải dần dần của các phương pháp phi toán trong việc truyền đạt ý tưởng kinh tế. Grubel và Bolan (1986) báo cáo kết quả một cuộc thăm dò ý kiến cho thấy các nhà kinh tế hàng đầu quan tâm đến việc toán càng ngày càng đuợc sử dụng quá nhiều trong giảng dạy hậu đại học và các bài nghiên cứu được xuất bản.  Tương tự, Munir và Rashid (1994) tường trình lời phê bình về vai trò có vẻ quá lớn của toán trong kinh tế từ những kinh toán gia và kinh lượng gia lỗi lạc, đặc biệt nhất là bốn kinh tế gia Pháp, Anh từng đoạt giải Nobel như Maurice Allais, Gérad Debreu, John Hicks và Richard Stone.  Mặc cho những phê bình, chỉ trích, quan tâm này, cho đến nay vẫn chưa có bằng cớ cụ thể nào cho thấy xu hướng toán hoá kinh tế học sẽ giảm sút trong tương lai.

2. Lịch sử của toán trong kinh tế học

Sự ứng dụng của toán trong kinh tế không phải là một hiện tượng mới. Thật ra toán đã đóng vai trò đáng kể trong kinh tế học trên dưới một thế kỷ nay mặc dù các thuyết kinh tế cổ điển (classical economics) đã được phát triển và hệ thống hoá mà không cần dùng toán.  Lấy thí dụ, hai kinh tế gia cổ điển lớn nhất, Adam Smith và David Ricardo, chỉ dùng thí dụ bằng số để minh hoạ các lý thuyết của mình.  Họ phối hợp các quan sát thực tế một cách phi toán với các lý luận suy diễn về liên hệ nhân quả để giải thích hệ thống kinh tế làm việc như thế nào.  Ngay trong công trình của các kinh tế gia cổ điển vĩ đại cuối cùng như John Stuart Mill và Karl Marx, công thức toán hay đồ thị cũng chỉ là một loại tốc ký hay phương cách trình bày mà thôi.  Một ngoại lệ đáng kể là thuyết dân số của Thomas Malthus(1798) trong đó Malthus lập luận rằng dân số tăng theo cấp số nhân trong khi thực phẩm chỉ tăng theo cấp số cộng.

Ngày nay, phần lớn các nhà kinh tế đồng ý rằng Augustin Cournot, triết gia và toán gia Pháp, xứng đáng nhận lãnh danh hiệu “cha đẻ của kinh toán học”.  Cournot (1838) được coi là khai sinh ra kinh toán học vì ông đã hệ thống hoá sự ứng dụng ký hiệu, công thức và lý luận toán trong kinh tế.  Sau thời Cournot, hầu hết các kinh tế gia danh tiếng đều phải sử dụng toán, không ít thì nhiều, trong việc phát triển và truyền đạt các lý thuyết của mình.  Cournot được xem là một trong những kinh tế gia đầu tiên đã thành công trong việc thành lập một lý thuyết giá trị nhất quán qua các phân tích về tiêu thụ.  Một vài đóng góp cụ thể của ông cho kinh tế gồm có: ý niệm hàm và xác xuất trong phân tích kinh tế, hàm cầu, hàm cung, thuyết độc quyền và lưỡng độc quyền (duopoly).  Cũng nên nhắc là thuyết lưỡng độc quyền của Cournot đánh dấu bước đầu nghiêm túc của thuyết trò chơi và giải pháp của Cournot là một hình thức hạn chế của cân bằng Nash.

Các công trình của Cournot đánh dấu sự chuyển đổi từ kinh tế cổ điển qua kinh tế tân cổ điển (neoclassical economics) (xem Hildenbrand, 1982).  Cả hai thuyết đều quan tâm đến sản xuất, phân bố, trao đổi và tiêu thụ của cải (của cải theo nghiã hàng hoá).  Các kinh tế gia cổ điển chú ý đến sản xuất và phân phối của cải qua thời gian. Họ nhấn mạnh tỷ lệ tăng truởng dân số và nguồn lực vật chất, và xem xét hậu quả của các nhân tố này lên tiến bộ kinh tế cũng như phúc lợi của nhân dân và xã hội.  Các kinh tế gia tân cổ điển ít quan tâm đến các khiá cạnh động.  Thay vào đó, họ đặt câu hỏi: “trong một nền kinh tế với dân số có sở thích, nguồn lực và kỹ thuật cho sẵn, làm sao các nguồn lực có thể phân phối qua một hệ thống thị trường để cực đại hoá sự thoả mãn của người tiêu thụ?”  Dùng thuật ngữ kinh tế ngày nay, sự chuyển đổi từ kinh tế cổ điển qua tân cổ điển là sự xê dịch từ phân tích kinh tế vĩ mô sang vi mô.  Đường hướng mới này (xem vấn đề quyết định cá nhân như một vấn đề tối ưu) có thể giải quyết một cách toán học bằng phương pháp giải tích.  Walras (1874) lý luận: “Chỉ có toán mới có thể giúp chúng ta hiểu ý nghĩa của điều kiện hữu dụng tối đa (maximum utility).”

Kinh tế tân cổ điển khởi đầu với ba kinh tế gia: Stanley Jevon (Anh), Carl Menger (Áo) và Léon Walras (Pháp).  Ba kinh tế gia này thường được xem là ông tổ của “Cách mạng Biên tế” (Marginalist Revolution).  Danh từ biên tế liên quan đến kết quả toán của điều kiện biên tế cho cân bằng thị trường.  Quan trọng nhất trong ba kinh tế gia này là Walras, người được Joseph Schumpeter (1954: 827) xưng tụng là “kinh tế gia vĩ đại nhất”.  Lý do Walras được gọi như vậy là vì Walras (1874) đã khám phá ra lý thuyết cân bình tổng thể (general equilibrium theory).  Thuyết này giải thích quân bình của một hệ thống kinh tế thị trường qua quá trình điều chỉnh giá cả mà trong đó các tác nhân kinh tế riêng rẽ không thể ảnh hưởng lên giá thị trường.  Nói tóm gọn, Walras đã xếp đặt một chương trình nghiên cứu mà rất nhiều kinh tế gia thế kỷ 20 đã theo đuổi.  Cùng với học trò là Vilfredo Pareto, Walras sáng lập trường phái Lausanne, có thể xem là trường phái kinh toán đầu tiên trên thế giới.

Từ khi kinh tế tân cổ điển xuất hiện đến nay, phấn lớn những đóng góp quan trọng nhất cho lý thuyết kinh tế là từ kinh tế gia có đầu óc toán học.  Những kinh tế gia này dều xem toán là cần thiết và không thể thiếu.  Hai ngoại lệ đáng chú ý là hai kinh tế gia Anh, Alfred Marshall và John Maynard Keynes.  Marshall học và dạy toán tại Cambridge, trước khi chuyển sang kinh tế.  Tuy Marshall đã mang tính nghiêm túc của toán vào kinh tế, ông tỏ vẻ nghi ngờ vai trò của toán trong kinh tế.  Ông cho rằng các biến số thật trong đời sống quá nhiều và hổ tương với nhau (interrelated) do đó (i) các cố gắng toán hoá sẽ làm vấn đề quá phức tạp, không nghiên cứu được, và (ii) nếu phải bỏ sót để vấn đề có thể phân tích được, thì lời giải thích sẽ trở thành thiếu thực tế.  Trong sách Nguyên lý Kinh tế, Marshall (1890) giới hạn lý luận toán vào chú thich cuối trang, do ddó các lập luận trong văn bản đều là bằng lời. Khá nhiều kinh tế gia cho rằng (i) Marshall không hoàn toàn thành thật khi phê bình như vậy, và (ii) thật ra muốn hiểu các lập luận của Marshall thật sâu người đọc phải biết nhiều hơn về toán hơn là Marshall thừa nhận (xem Hildenbrand, 1982: 66).

Keynes, giống như Marshall, ban đầu được đào tạo để trở thành một nhà toán học và cũng nghi ngờ vai trò của toán trong kinh tế.  Keynes chỉ dùng một ít toán và lý luận rằng khả năng của toán trong việc thu hút nội dung của kinh tế rất là hạn chế.  Việc này dễ hiểu được vì quan tâm chính của Keynes là chính sách kinh tế và một kinh tế gia muốn phát biểu các dề xuất cho các vần đề kinh tế khẩn cấp, phải dùng ngôn ngữ càng ít toán càng tốt.  Nhưng cũng vì thế mà công trình vĩ đại nhất của Keynes (1936) có nhiều chỗ không rõ ràng và mâu thuẫn (có lẽ vì Keynes thay đổi các giả thiết ẩn tàng từ chương này qua chương khác).  Dù sao Keynes cũng dặt nền móng cho kinh tế vĩ mô hiện đại và mở màn cho một chương trình nghiên cứu thúc đẩy vai trò của toán trong kinh tế và ứng dụng của toán trong các công trình thực nghiệm.

Công trình tiêu biểu.

Trong thế kỷ 20, các công trình kinh toán to lớn nhất xuất hiện sau Thế chiến Thứ hai.  Trong phạm vi bài này, tôi chỉ xin nêu ra, một cách ngắn gọn, ba thí dụ tiêu biểu nhất.

Thứ nhất, Paul Samuleson, lý thuyết gia kinh tế lỗi lạc nhất của thế kỷ 20. Samuelson (1947) được nhiều người xem là cha đẻ của kinh toán học hiện đại qua cuốn sách Nền tảng của Phân tích Kinh tế.  Cuốn sách này, rút ra từ luận án tiến sĩ năm 1941 của Samuelson, dùng ngôn ngữ toán nghiêm túc thống nhất các thuyết kinh tế bằng một vài nguyên lý cơ bản, và đặt nền tảng cho các nghiên cứu kinh toán hiện đại.  Nhờ ảnh hưởng của Samuleson, trọng tâm nghiên cứu kinh toán học đã dần chuyển từ Âu châu sang Bắc Mỹ.

Thí dụ thứ nhì là mô hình cạnh tranh hoàn hảo Arrow–Debreu–McKenzie (ADM), dựa trên các công trình của Arrow & Debreu (1954) và Lionel McKenzie (1954).  Mô hình ADM là mô hình trung tâm của lý thuyết cân bình tổng thể và thường được dùng làm một tham khảo tổng quát cho các mô hình kinh tế vi mô khác.  So sánh với các mô hình trước đó, mô hình ADM dùng một ý niệm hàng hoá rất tổng quát, phân biệt hàng hoá bằng không gian lẫn thời gian.  Dưới một số giả thiết nhất định, Arow và Debreu đã dùng vị tướng học (topology), thay vì giải tích, để chứng minh sự hiện hữu của một cân bình tổng thể của thị trường cạnh tranh hoàn hảo (tức là cân bình Walras).  Điều đáng chú ý là Debreu từng là một thành viên của nhóm toán gia lừng danh Bourbaki và đã dùng phương pháp tiên đề trong các nghiên cứu kinh tế của ông.

Thí dụ thứ ba là lý thuyết trò chơi.  Tuy có nhiều người đã thảo luận một số ý niệm về thuyết trò chơi trước đó, nhà bác học von Neumann thường được xem là cha đẻ của thuyết trò chơi vì ông đã phát triển khá hoàn hảo và phổ thông hoá thuyết này (xem von Neumann và Morgenstern, 1944).  Von Neumman đề xuất thuyết trò chơi như một thứ ngôn ngữ mới dùng để biểu diễn và giải quyết các vấn đề kinh tế một cách chính xác. Lối tư duy mới này nhấn mạnh sự tương tác chiến lược giữa các tác nhân kinh tế (cá nhân, doanh nghiệp, chính phủ, vv).  Như vậy, lý thuyết cân bình tổng thể có thể xem là một trường hợp đặc biệt của thuyết trò chơi.  Tác phẩm chung của von Neumann và Morgenstern đã cách mạng hoá bộ môn kinh tế và nghiên cứu trong kinh tế.  Tuy rằng cuốn sách này viết riêng cho các nhà kinh tế, sự ứng dụng của thuyết trò chơi trong tâm lý học, xã hội học, chính trị học, chiến tranh, các trò chơi giải trí, v.v. trở nên rõ ràng khá nhanh sau đó.

Ngoài von Neumann, nhiều toán gia khác cũng tìm cách ứng dụng toán thuần lý vào lĩnh vực kinh tế trong hậu bán thế kỷ 20.  Nổi tiếng nhất có lẽ là toán gia Steve Smale, người thắng Huy chương Field năm 1966 (một phần vì đã chứng minh Ước đoán Poincaré cho trường hợp n ³ 5).  Smale đã đóng góp rất nhiều cho lý thuyết kinh tế trong thập kỷ 1970.  Ông đã thành công trong việc mang giải tích toàn bộ, vị tướng học và động học vào những nghiên cứu về cân bình kinh tế tổng quát.

Công trình bị phê phán tiêu biểu.

Để có một cái nhìn khách quan và toàn diện hơn, chúng ta cũng nên xét qua vài thí dụ về các ứng dụng toán không thành công lắm trong kinh tế.  Hai thí dụ tiêu biểu nhất có lẽ là thuyết tai biến (catastrophe theory) và thuyết hỗn độn (chaos theory).

Thuyết tai biến. Sau nhiều thập kỷ phát triển dần dần, thuyết tai biến chính thức xuất hiện vào đầu thập kỷ 1970 qua những công trình đột phá của René Thom (1969).[3]  Sau đó, thuyết tai biến đã được áp dụng trong khá nhiều nghiên cứu kinh tế, thí dụ như thị trường chứng khoán, thị trường độc quyền, chu trình kinh tế, mô hình lạm phát, đầu cơ hối suất, thuyết tăng trưởng, kinh tế thành phố và vùng, kinh tế sinh thái, vv (xem Rosser 2007).  Vào cuối thập kỷ 1970, nhiều tác giả bắt đầu chỉ trích sự lạm dụng của thuyết tai biến (không phải chỉ trong kinh tế) vì ba lý do chính như sau: (i) thuyết tai biến dựa quá nhiều trên các phương pháp định tính, (ii) nhiều ứng dụng đòi hỏi các định lượng hoá giả mạo hay phương pháp thống kê không thích hợp, và (iii) rất nhiều mô hình không thoả những điều kiện toán cần cho thuyết tai biến.  Cũng vì thế mà trong thập kỷ 1990, gần như không có bài nghiên cứu nào đăng trong các tạp chí kinh tế hàng đầu dám nhắc đến thuyết tai biến.  Ngày nay, phần đông các nhà kinh tế có một cái nhìn đúng đắn và lạc quan hơn về thuyết tai biến.  Tuy không phải là kỹ thuật tổng quát có thể dùng cho mọi trường hợp, thuyết tai biến vẫn đóng một vai trò nhất định nào đó trong việc nghiên cứu hiện tượng bất liên tục động trong kinh tế (Roser 2007).

Thuyết hỗn độn. Giống như thuyết tai biến, thuyết hỗn độn có nguồn gốc sâu xa từ những công trình nghiên cứu về toán và cơ học thiên thể của “toán gia phổ quát cuối cùng” Henri Poincaré vào cuối thế kỷ 19.  Poincaré nhận thấy rằng các hệ thống xác định, động, phi tuyến, đơn giản (simple nonlinear dynamic deterministic systems) dưới một số điều kiện nào đó tiến hoá một cách có vẻ như ngẫu nhiên, phức tạp.  Những hệ thống này rất nhạy cảm với điều kiện ban đầu và do đó dự đoán dài hạn với bất kỳ độ chính xác nào đòi hỏi các điều kiện ban đầu được định rõ tới mức chính xác vô cực.  Bắt đầu từ giữa thập kỷ 1970, thuyết hỗn độn đã được áp dụng vào rất nhiều lĩnh vực kinh tế khác nhau (xem Baulmol & Benhabib 1989).

Ứng dụng của thuyết hỗn độn trong kinh tế gây ra vài trở ngại chính như sau.  Thứ nhất, sự có mặt của hỗn độn làm dự đoán dài hạn không khả thi, và người dự báo sẽ phải trả giá cực kỳ cao nếu chỉ muốn tăng tầm xa dự báo lên chút ít.  Tính không dự đoán dài hạn này cũng trái ngược với giả thiết kỳ vọng hợp lý (rational expectations), một ý niệm cơ bản trong các lý thuyết kinh tế hiện đại. Thứ hai, quan trọng hơn, các nhà nghiên cứu chưa tìm được bằng chứng có tính thuyết phục về sự hiện diện của hỗn độn xác định trong các chuỗi dữ kiện kinh tế thời gian.  Nếu như thế, các nhà kinh tế có nên tiếp tục bỏ công sức vào thuyết hỗn độn hay nên khảo sát các dạng động lực phi tuyến khác với khả năng tiên đoán tốt hơn?  Tuy nhiên, thuyết hỗn độn nói chung không bị các nhà kinh tế tránh né như thuyết tai biến.  Một số nhà kinh tế cho rằng thuyết hỗn độn vẫn cần cho lý thuyết kinh tế, nhưng các dụng cụ và phương pháp nghiên cứu phải khác hơn những kỹ thuật dùng trong quá khứ.

3. Toán và Nghiên cứu Kinh tế

Như đã thảo luận bên trên, sự phát triển của lý thuyết kinh tế học hiện đại dựa vào toán rất nhiều.  Điều đó cũng không đáng ngạc nhiên vì toán có nhiều lợi thế hơn các ngôn ngữ khác.

Ưu điểm của toán:

  • Là một phương cách truyền thông ý tưởng và kiến thức ngắn gọn, chính xác và nghiêm túc;
  • Có lẽ là một ngôn ngữ phổ quát nhất nhờ sự tiêu chuẩn hoá các ký hiệu toán trên toàn thế giới;
  • Là một dụng cụ suy diễn lý luận rất mạnh (nhờ vào sự phong phú của các định lý toán); và
  • Là phương pháp rất ích lợi trong việc giải quyết các vấn đề quá phức tạp cho tưởng tượng hay trực giác.

 Tuy nhiên, toán cũng bị một số bất lợi chính như sau:

  • Ngôn ngữ toán giới hạn hơn ngôn ngữ hàng ngày do đó phạm vi các vấn đề có thể giải bằng toán cũng bị hạn chế hơn;
  • Rất nhiều người không thoải mái với toán và không thể nhớ và áp dụng toán, dù chỉ là các luật toán căn bản; và
  • Nhưng nhà kinh toán học trong khi truyền đạt ý tưởng của mình có thể vô ý làm toán trở thành chủ nhân thay vì người hầu.

Blackhouse (1998) nhận diện các lợi ích chính của toán trong nghiên cứu kinh tế như sau:

  • Làm rõ những gì chúng ta biết qua cách trình bày những gì chứng minh được và những gì không chứng minh được;
  • Giúp tích lũy kiến thức qua thời gian bởi vì các các thế hệ sau có thể dễ dàng theo dõi các lý luận toán; và
  • Cung cấp một động cơ cho khám phá.

Về vấn đề toán hóa kinh tế học, Debreu phát biểu: “[Toán] không ngừng đòi hỏi các giả thiết yếu hơn, các kết luận mạnh hơn, tính cách tổng quát hơn.  Trong dạng toán, lý thuyết kinh tế phải cam chịu các đòi hỏi này… Toán cũng bắt buộc nhu cầu phải đơn giản.” (lập lại trong Blackhouse, 1998).

Trong thế kỷ 20, các nhà kinh toán học dần dần thay phương pháp quan sát thực nghiệm của khoa học thiên nhiên (như vật lý) bằng phương pháp công lý (axiomatic approach) trong nghiên cứu kinh tế thuần lý.  Điều này và nhu cầu đo lường đã dẫn đến sự nhị phân giữa lý thuyết thuần túy (kinh toán học) và lý thuyết ứng dụng (kinh lượng học).  Nghiên cứu kinh tế thuần lý dùng các phương pháp phân tích toán, nhiều khi phức tạp, về cách xử lý của các tác nhân kinh tế dựa trên hai giả thiết: tính hợp lý (rationality) và tính vị kỷ (self interest).  Đường hướng nghiên cứu này nhấn mạnh vào nguyên lý cực đại hoá hữu dụng (utility maximizing) cũng như sự hiện hữu của một cân bình duy nhất và bền (stable).  Lý thuyết ứng dụng ngược lại tập trung vào các dạng rút gọn (reduced forms) mà dữ kiện đòi hỏi có thể kiếm được trong các quan sát, đo lường thực tế.  Vì hai lối nghiên cứu này có hai mục đích khác nhau, kỹ thuật toán dùng trong kinh toán học có xu hướng khác với các kỹ thuật dùng trong kinh lượng học.  Các nhà nghiên cứu thời nay có xu hướng chuyên môn hoá, hoặc kinh toán học hoặc kinh lượng học.  Ngay cả các tác giả vừa làm nghiên cứu trong cả hai lĩnh vực cũng có xu hướng phân chia phần lý thuyết và phần thực nghiệm trong các bài nghiên cứu của mình.  Trong phạm vi hạn hẹp của bài này, tôi xin phép không bàn sự nhị phân này có gây ra vấn đề gì không và có thể vượt qua được không? (nếu muốn tìm hiểu, xin xem thêm Blackhouse, 1998).

Đến đây, chúng ta có thể tóm gọn vai trò của toán trong nghiên cứu kinh tế như sau (xem thêm Hildenbrand, 1982):

  1. Toán chỉ là một phương tiện, không phải là cứu cánh, và do đó tầm nhìn về sự kiện và ý nghĩa phải nhất thiết đi trước việc phân tích vấn đề (hai thí dụ tốt cho điểm này là “Sự Thịnh vượng của các Quốc gia” của Adam Smith (1776) và “Lý thuyết Chung” của Keynes (1936));
  2. Phẩm chất của một lý thuyết kinh tế hoàn toàn không tùy thuộc vào chiều sâu hay tính phức tạp của nội dung toán trong thuyết đó (hai thí dụ tốt là Định luật Coase (1937) và Thuyết Thị trường Hàng hoá xấu của George Akerlof (1970).
  3. Vai trò của toán trong kinh tế lý thuyết trong bản chất chắc chắn nhiều hơn chỉ là một loại tốc ký hay dụng cụ biểu diễn tiện lợi;
  4. Cuộc tranh cãi về vai trò của toán trong kinh tế học đúng ra không phải tranh luận về nên hay không nên dùng toán trong kinh tế, mà là về “dùng bao nhiêu toán” và “dùng toán loại nào” (hình học, đại số, giải tích, vị tướng, thống kê, toán số).  Không phải ngẫu nhiên mà Francis Edgeworth (1881) gọi giải tích là “tiếng mẹ đẻ của kinh tế học”.

4. Ví dụ minh họa cụ thể

Trong phần này, chúng ta hãy xem hai thí dụ cụ thể về ứng dụng của toán trong nghiên cứu kinh tế.

-Thí dụ thứ nhất dựa trên công trình của Allingham và Sandmo (1972) về sự trốn thuế.  Mô hình này đã gây một tiếng vang khá lớn trong lý thuyết tài chính công và đã được nới rộng rất nhiều.  Trong phạm vi bài này, với mục đích minh hoạ, chúng ta chỉ cần xem xét mô hình nguyên thủy.  Đây là một mô hình tương đối đơn giản, thuộc loại cân bình cục bộ (partial equilibrium), tĩnh (static) và ngẫu nhiên (stochastic) với một biến số nội sinh (endogenous variable) duy nhất.

@ Vấn đề: Một kinh tế nhân (homo economicus) sẽ tuân thủ luật thuế thu nhập như thế nào, giả thử một hệ thống kiểm tra và nộp phạt cho sẵn?

@ Giả thiết (assumptions): Kinh tế nhân cực đại hoá hàm hữu dụng (utility function) tùy thuộc vào thu nhập sau thuế.

@ Mô hình hoá vấn đề:

Bước đầu là đặt ký hiệu.  Gọi:
y = thu nhập thật (y > 0)

t = thuế suất (0 < t < 1)

x = thu nhập khai báo (x < y)

z ≡ y – x = số lượng thu nhập trốn thuế

p = xác xuất bị kiểm tra (0 < p < 1)

q = tỉ lệ nộp phạt cho mỗi đồng trốn thuế

u = hàm hữu dụng (tăng và lõm theo thu nhập)

Bước kế là đặt vấn đề.  Nếu trốn thuế và không bị Cục Thuế kiểm tra, thu nhập sau thuế của người đóng thuế sẽ là y – tx = (1-t)y + tz.  Nếu bị kiểm tra, thu nhập sau thuế và sau khi bị phạt của người đóng thuế sẽ là

y – tx -(t+q)z = (1-t)y- qtz.

Như vậy, vấn đề này có thể đặt dưới dạng toán như sau:

Chọn z để cực đại hoá EU = pu[(1-t)y-qtz] + (1-p)u[(1-t)y + tz)] tùy theo
y, t, p, q , 0 < t < 1 và 0 < p < 1 cho sẵn.

@ Phân tích mô hình:  Trong một mô hình như trên, ta gọi các thông số như y, t, p, q, t và p là các biến số ngoại sinh (exogenous variables) và biến số chọn lựa z là biến số nội sinh.  Đi tìm cân bình của mô hình là tìm trị của biến số nội sinh z theo tập hợp các biến số ngoại sinh.  Vì đây là một vấn đề cực đại hoá bị ràng buộc, phép toán vi phân là dụng cụ phân tích thích hợp.  Lấy đạo hàm của EU theo z, điệu kiện bậc một của cực đại nội (interior maximum) của EU là:

– pqu ’[(1-t)y-qtz] +(1-p)tu’[(1-t)y + tz)] = 0

Trong đó u’ là đạo hàm bậc một của u (tức là hữu dụng biên tế).  Xin lưu ý là điều kiện bậc hai cho một cực đại toàn bộ thoả vì giả thiết u” < 0.  Trên nguyên tắc, ta có thể giài phương trình trên để tìm trị của z theo y, t, p and q, tức là

z = f(y, t, p, q)

Đây là dạng rút gọn (reduced form) của mô hình. Phân tích tĩnh so sánh (comparative static analyis) có nghiã là chúng ta xác định dấu của các đạo hàm bậc một từng phẩn của f.  Trong trường hợp này, trong khi cả hai fp và fq  đều âm (nếu xác xuât kiểm tra tăng hay tỉ lệ nộp phạt tăng, số lượng thu nhập trốn thuế sẽ giảm), dấu của fy và ftkhông rõ (nghiã là ảnh hưởng của thu nhập hay thuế suất lên số thu nhập trốn thuế không minh bạch trong trường hợp tổng quát).

@ Giới hạn của mô hình: Mô hình trên có hai vấn đề.

  • Thứ nhất, mô hình này dựa trên quan điểm rất giới hạn vể bản chất con người và không phù hợp với các quan sát thực nghiệm về sự tuân phục luật thuế.  Rất nhiều người vốn đã trung thực và sẵn lòng nộp đủ thuế ngay cả khi có cơ hội trốn thuế mà không sợ bị kiểm tra.
  • Thứ hai, mô hình này không kết hợp hành xử chiến lược (strategic behaviour) của Cục Thuế.  Thuyết trò chơi có lẽ là một dụng cụ phân tích thích hợp hơn cho vấn đề này.

Thí dụ bên trên cho thấy sức mạnh cũng như hạn chế của các phương pháp toán trong việc mô hình hoá các hành xử về thuế.  Trong khi phép tính vi phân cung cấp một dụng cụ phân tích rất mạnh, công thức hoá một mô hình kết hợp tính trung thực của người đóng thuế hay tìm được kết quả minh bạch mà không cần đòi hỏi thêm giả thiết về ý muốn của người đóng thuế thật không phải là chuyện dễ dàng.

-Thí dụ thứ hai là mô hình tăng trưởng nội sinh (endogeneous growth model), một đề tài nghiên cứu kinh tế rất lớn trong hơn 15 năm qua.  Các tài liệu về mô hình tăng trưởng nội sinh rất đa dạng và phong phú.  Trong bài này, chúng ta chỉ xét một thí dụ tương đối giản dị dựa trên công trinh khai phá của Hirofumi Uzawa (1965).  Đây là một mô hình thuộc loại kết tập (aggregative), xác định (deterministic) và động (dynamic) với thời gian liên tục (continuous time).

Trong mô hình này dân số (đồng nghĩa với lực lượng lao động) tăng theo luật số mũ với một tỷ lệ cho sẵn.  Người lao động làm việc trong khu vực kiến thức hay sản xuất.  Kiến thức nẩy sinh ra vốn con người (human capital) trong khi sản phẩm cuối (final output) có thể tiêu thụ hay để dành thành vốn nhân tạo (physical capital).  Đặt:

L(t) = tổng lao động tại thời điểm t;

Lp(t)= tổng lao động dùng trong sản xuất tại thời điểm t (0 ≤ Lp(t) ≤ L(t);

A(t) = trữ lượng kiến thức tại thời điểm t;

K(t) = trữ lượng vốn nhân tạo tại thời điểm t,

Q (t) = tổng sản phẩm tại thời điểm t; và

C (t) = tổng tiêu thụ tại thời điểm t.

Dưới một số giả thiết không gò bó lắm, sự tăng trưởng qua thời gian của nền kinh tế có thể diễn tả bắng hệ thống phương trình vi phân sau:

pt1.gif

pt2.gif

pt3.gif

trong đó n (tỷ lệ tăng dân số) ≥ 0, a (tỷ lệ hiệu quả trong khu vực kiến thức) > 0 và L(0), A(0) và K(0) cho sẵn.

Tổng sản phẩm là hàm của hai nhân tố không thể thiếu: vốn nhân tạo (K) và vốn con người dùng trong sản xuất (ALp):

Q(t) = F[K(t), A(t)Lp(t)]

ALp có thể xem là lao động trong sản xuất tính theo đơn vị hiệu quả thay vì đầu người.  Hàm sản xuất F được giả thử là hàm đồng nhất bậc một, tăng nghiêm ngặt (strictly increasing), lõm và thoả điều kiện Inada (F1 → ∞ khi K → 0 và F2 → ∞ khi ALp → 0).

Để hoàn tất mô hình ta giả thử một chính phủ vĩnh cửu cho nền kinh tế.  Chính phủ này đánh thuế lên người làm việc trong khu vực sản xuất (vì những người thợ này hưởng lợi trực tiếp từ kiến thức) để trả cho khu vực kiến thức.  Thuế suất tại thời điểm t, τ(t),  được cho bởi điều kiện τ(t)w(t)L(t) = w(t)[L(t)–Lp(t)] trong đó w(t) là lương thợ sản xuất tại thời điểm t.  Đơn giản hoá, ta có τ(t) = 1 – Lp(t)/L(t).  Hơn nữa, chính phủ này chọn C(t) và Lp(t) để cực đại hoá hàm phúc lợi xã hội.

pt4.gif

Theo bốn ràng buộc về L, A, K và Q, với ρ (> n) là tỷ suất chiết khấu xã hội (social discount rate), c(t) ≡ C(t)/L(t) là tiêu thụ tính theo đầu người, và hàm u tăng và lõm.

Mô hình tăng trưởng nội sinh như trên trở thành bài toán diều khiển tối ưu (optimal control problem) với hai biến điều khiển (control variables) C(t) và Lp(t) và hai biến trạng thái (state variables) K(t) và A(t).  Vì phương pháp phân tích mô hình này khá chuyên môn, tôi chỉ xin lướt qua như sau.  Đầu tiên chúng ta phải thiết lập hàm Hamiltonian của vấn đề điều khiển trên, và sau đó tìm ra các điều kiện cần cho bài toán tối ưu.  Từ những điều kiện này, chúng ta có thể phân tích sự tiến hoá của nền kinh tế.  Ba câu hỏi chính là:

(i)     Từ những điều kiện ban đầu cho sẵn, nền kinh tế này có tiến tới một cân bình vững (steady state) hay không?

(ii)      Cân bình vững có hiện hữu duy nhất không?

(iii)     Trong cân bình vững này, các biến điều khiển và trạng thái sẽ tăng trưởng với mức độ nào?

Nói chung, tuy mô hình giản dị nhưng bài toán cũng trở thành khá phức tạp.  Muốn mô tả đặc điểm của cân bình vững, chúng ta cần hạn chế hình dạng của u.  Dưới giả thiết u là hàm đẳng đàn hồi (isoelastic), tức là u”/u’ = – α /c ( α > 0), chúng ta có thể chứng minh rằng cân bình vững, nếu hiện hữu, là duy nhất, và trong cân bình vững này, trữ lượng vốn nhân tạo, trữ lượng vốn con người, tổng sản phẩm và tổng tiêu thụ tất cả cùng tăng với tỷ lệ g = [a– ρ + ( α +1)n]/α (xem Tran-Nam & Truong 1994).  Nếu hạn chế thêm  n = 0 vàpt5.gif   (0 < β < 1),

chúng ta có thể mô tả sự tiến hoá của nền kinh tế với các công thức tường minh và chứng minh rằng, tuỳ theo điều kiện ban đầu, nền kinh tế hoặc đạt cân bình vững ngay từ đầu, hoặc sẽ tiến tới cân bình vững một cách đều đặn khi thời gian tiến tới vô hạn (xem Truong & Tran-Nam, 2006).

Thí dụ này làm sáng tỏ các lời phát biểu của Debreu nói trên: làm sao toán có thể giúp chúng ta tìm ra những kết quả mạnh hơn dưới những giả thiết yếu hơn và các điều kiện tổng quát hơn.  Về ý kinh tế, kiến thức trong mô hình như trên là một đầu vào thuần túy công (pure public input), không thể cung cấp được trong nền kinh tế thị trường.  Làm sao chúng ta có thể thiết lập một mô hình tăng trưởng nội sinh mà trong đó sự tích lũy vốn con người là kết quả của các quyết định đầu tư cá nhân?  Đây là loại câu hỏi giúp chúng ta thiết lập và phân tích các mô hình mới.

5. Kết luận

Toán đóng một vai trò rất quan trọng, có thể nói lả không thể thiếu, trong bộ môn kinh tế.  Vai trò này có xu hướng tăng dần theo thời gian, mặc dù vẫn còn sự phê bình, chống đối việc dùng toán làm một phương pháp chính để phân tích, thông hiểu một hệ thống nhân văn phức tạp như hệ thống kinh tế..  Nói chung, toán đã giúp kinh tế, nhất là kinh tế lý thuyết, tiến triển rất nhiều.  Dĩ nhiên, toán hoá đã và đang làm thay đổi bản chất và phạm vi của bộ môn kinh tế.  Toán cũng ảnh hưởng rất lớn đến sự truyền đạt ý niệm và đề xuất kinh tế, không những giữa các nhà kinh tế với nhau, mà còn giữa các nhà kinh tế và dân chúng, và giữa các nhà kinh tế và các nhà làm chinh sách.

Vì thế, các sinh viên, các giáo viên, các nhà nghiên cứu trong bộ môn kinh tế tại Viêt Nam, dù muốn hay không, cũng phải đạt đến một trình độ toán (nhất là toán giải tích) tối thiểu nào đó để theo dõi và tham gia các tiến triển trong nghề chuyên môn của mình.  Điều này đặc biệt đúng cho các người muốn ra nước ngoài học thêm hay làm nghiên cứu.  Vể phương diện nghiên cứu, rất nhiều nhà kinh tế tại Việt Nam có căn bản toán rất tốt và do đó có tiềm năng phát triển thành các nhà kinh tế lý thuyết với các công trình nghiên cứu giá trị tương lai.  Tuy nhiên, kiến thức về lý thuyết kinh tế thị trường của các nhà kinh tế này có thể chưa sâu lắm, do đó việc tìm kiếm đề tài thích hợp cũng là một vấn đề.  Nhưng điều này có thể vượt qua bằng sự tìm tòi của chính họ hay sự cộng tác với các nhà kinh tế nước ngoài, kể cả Việt kiều.  Thật ra, hợp tác bổ tương giữa các nhà kinh toán học Việt Nam trong và ngoài nước là một chính sách cần được khuyến khích và nới rộng. …

————————————————–

Tài liệu Tham khảo

Akerlof, G.A. (1970), “The market for ‘lemons’: Quality uncertainty and the market mechanism”, Quarterly Journal of Economics 84(3): 488–500.

Allingham, M.G. & A. Sandmo (1972), “Income tax evasion: A theoretical analysis”, Journal of Public Economics 1: 323–38.

Arrow, K. & G. Debreu (1954), “Existence of an equilibrium for a competitive economy”, Econometrica 22(3). 265–90.

Bank of England (1999), Economic Models at the Bank of England, Bank of England, London.  Có thể xem được tại

<http://www.bankofengland.co.uk/publications/other/beqm/modcobook.htm>.

Baumol, W.J. & Benhabib, J. (1989), “Chaos: Significance, mechanism, and economic applications”, Journal of Economic Perspectives 3(1): 77–105.

Blackhouse, R.E. (1998), “If mathematics is informal, then perhaps we should accept that economics must be informat too”, Economic Journal 108(451): 1848–58.

Centre of Policy Studies (2006), The Centre of Policy Studies and the IMPACT Project, CoPS, Monash University, Melbourne.  Có thể xem được tại

<http://www.monash.edu.au/policy>.

Coase, R. (1937), “The nature of the fỉrm”, Economica 4(16): 386–405.

Cournot, A.A. (1838), Recherches sur les Principes Mathématiques de la Théorie des Richesses (Researches into the Mathematical Principles of the Theory of Wealth), bản dịch 1897 của N.T. Bacon, Macmillan, New York.

Dow, S.C. (1999), “The use of mathematics in economics”, Public Understanding of Mathematics Seminar, Birmingham, 21–2 May.

Edgeworth, F.Y. (1881), Mathematical Psychics: An Essay on the Application of Mathematics to the Moral Sciences, Kegan Paul, London.

Grubel, H.G. & L.A. Bolan (1986), “On the effective use of mathematics in economics”, Kyklos 39: 419–42.

Hildenbrand, W. (1982), “The rôle of mathematics in economics” trong L.J. Cohan et al (chủ biên), Logic, Methodology and Philosophy of Science VI, North-Holland, Amsterdam, trang 63–76.

Keynes, J.M. (1936), The General Theory of Employment, Interest and Money, Macmillan, London.  Có thể xem được tại

<http://www.marxists.org/reference/subject/economics/keynes/general-theory/index.htm>

McKenzie, L. (1954), “On equilibrium in Graham’s model of world trade and other competitive systems”, Econometrica 22(2): 147–61.

Malthus, T. (1798), An Essay on the Principle of Population as It Affects the Future Improvement of Society, with Remarks on the Speculations of Mr. Godwin, M. Condorcet, and Other Writers, Johnson, London.  Có thể xem được tại

<http://www.ac.wwu.edu/~stephan/malthus/malthus.0.html>

Marshall, A. (1890), Principles of Economics, Macmillan, London.  Có thể xem được tại

<http://www.econlib.org/library/Marshall/marP.html>

Munir, Q. & S. Rashid (1994), “The overuse of mathematics in economics: Nobel resistance”, Eastern Economic Journal, 20(3); 251–65.

Rosser, J.B. (2007), “The rise and fall of catastrophe theory applications in economics: Was the baby thrown out with the bathwater?”, Journal of Economic Dynamics and Control, sắp ra.

Samuelson, P. (1947), Foundations of Economic Analysis, Harvard Univerity Press, Cambridge.

Schumpeter, J. (1954), History of Economic Analysis, Oxford University Press, New York.

Smith, A. (1776), An Inquiry into the Nature and Causes of the Wealth of Nations, 1947 edition, Dent, London.

Statistics Canada (2002), Microsimulation Models, Satistics Canada, Ottawa.  Có thể xem được tại <http://www.statcan.ca/english/spsd>.

Thom, R. (1969), “Topological models in biology”, Topology 8: 313–35.

Tran-Nam, B. & C.N. Truong (1994), “Knowledge-based growth with exogenous population evolution: A balanced growth analysis”, Economics Letters 45: 507–12.

Truong, C.N. & B. Tran-Nam (2006), “Perpetual growth in an aggregative model with endogenous knowledge accumulation”, Review of Economic Development, sắp ra.

Uzawa, H. (1065), “Optimum technical change in an aggregative model of economic growth”, International Economic Review 6(1): 18–31.

Von Neumann, J. & O. Morgenstern (1944), Theory of Games and Economic Behavior, Princeton University Press, New Jersey.

Walras, L. (1874), Élements D’économie Politique Pure (Elements of Pure Economics), bản dịch của 1954 W. Jaffé, Allen & Unwin, London.

———-&&———-