Mô hình Vasicek

Mô hình Vasicek

(Nguồn: http://quantriruironganhang.blogspot.com)

Vasicek (chữ ‘V’ trong mô hình KMV) đã mô hình lãi suất ngắn hạn như một bước đi ngẫu nhiên và kết luận rằng các sản phẩm phái sinh lãi suất có thể được định giá tương tự như quyền chọn trong mô hình Black–Scholes.

Mô hình một nhân tố Vasicek

Mô hình một nhân tố Vasicek sử dụng lãi suất ngắn hạn như là nhân tố duy nhất để mô phỏng giá trái phiếu và mô phỏng lãi suất. Lãi suất vào ngày đáo hạn T là những lãi suất ngắn hạn gộp liên tục. Mô hình Vasicek là mô hình đầu tiên về cấu trúc kỳ hạn của lãi suất. Lợi ích chính của mô hình này là nó đưa ra giá trái phiếu và lãi suất là những công thức cụ thể. Đây là một mô hình “cân bằng” dựa trên một quá trình của lãi suất ngắn hạn r(t) trong thế giới trung tính rủi ro, khi nhà đầu tư kiếm được r(t) trong khoảng thời gian ngắn (t,t+dt). Nó khác với những mô hình khác sử dụng một dạng khác của quá trình chi phối lãi suất, như minh họa bởi những mô hình nói đến ở trên. Nó cũng khác những mô hình khác hay mô hình ác-bit với mục tiêu mô phỏng giá của tài sản thu nhập cố định hoặc phái sinh.

Ý tưởng cơ bản của mô hình là tạo ra một danh mục đầu tư không rủi ro dựa trên hai lãi suất với những kỳ hạn khác nhau. Bởi vì lãi suất có tương quan, có thể dễ dàng tạo ra một danh mục đẩu tư như thế. Quá trình r(t) dựa vào một nguồn bất trắc duy nhất dz. Độ trôi của quá trình phụ thuộc vào r(t) nhưng không phụ thuộc vào thời gian. Phần ngẫu nhiên tỳ lệ thuận với, độ biến động của lãi suất ngắn hạn. Mô hình trở lại giá trị trung bình thông qua độ trôi là giá trị dài hạn của lãi suất ngắn hạn và là tham số trở lại giá trị trung bình. Quá trình cho lãi suất ngắn hạn được mô tà bằng một phương trình khếch tán.
Tham số X là thành phân “trở lại giá trị trung bình” dương đảm bảo lãi suất r(t) sẽ quay lại giá trị kỳ vọng bất kỳ khi nào nó cao hơn hoặc thấp hơn giá trị dài hạn. Phương trình đạo hàm riêng xuất phát từ một danh mục đẩu tư không rủi ro. Phương trình có nghiệm cụ thể. Giá trị của một trái phiếu không trái tức với tiền gốc 1 và kỳ hạn T vào thời điểm t.
Dấu * biểu thị giá trị kỳ vọng trọng một thế giới trung tính rủi ro. Lãi suất gộp liên tục R(t,T) trong kỳ hạn T -1 thỏa mãn giá trị trái phiếu. Bằng cách thay đổi X chúng ta tạo ra toàn bộ cấu trúc thời gian của lãi suất vào thời điểm t. Giá trị của T.

Quá trình của lãi suất ngắn hạn

Chúng ta có thể minh họa quá trình của lãi suất ngắn hạn r(i) bằng cách đưa vào những dữ liệu đầu vào cần thiết. Mô phỏng độ trôi của lãi suất ngắn hạn khá đơn giản. Số hạng khuếch tán có phân phối chuẩn và có thể được mô phỏng từ một con số ngẫu nhiên chuẩn đều nhân với độ biến động. Sau đó, ta tích lũy những biến đổi trên những bước thời gian nhỏ. Ví dụ, bắt đầu với r(t)=10%, ta mô phỏng yếu tố “đổi mới” chuẩn chuẩn hóa, -0,7227 từ hàm ngược chuẩn chuẩn hóa và mô phỏng số hạng “đổi mói” bằng cách nhân. Chúng ta có một giá trị mới cho lãi suất ngắn hạn là 4,639%. Bắt đầu với giá trị mói này, chúng ta mô phỏng một lần nữa và tiếp tục. Đường đi của lãi suất ngắn hạn là ngẫu nhiên như được minh họa với 50 bước thời gian dưới đây trong hình 14.5.
Các phương trình dạng đóng Vasicek tính toán giá trái phiếu B(t,T) và lãi suất R(t,T) vào thời điểm t. Giá trái phiếu không trái tức cho phép định chuẩn mô hình với một chuỗi các giá với những kỳ hạn khác nhau. Quá trình định chuẩn đòi hỏi tham số “trở lại giá trị trung bình” từ giá trái phiếu, nhập lãi suất dài hạn và độ biến động của lãi suất ngắn hạn. Một khi tham số “trở lại giá trị trung bình” đã biết, ta sẽ tìm ra cả B(t,T) và R(t,T) từ các công thức. Bằng cách thay đổi R(0,T), chúng ta tìm ra toàn bộ cấu trúc thời hạn của lãi suất không trái tức.
lãi suất ngắn hạn
Những dữ liệu đầu vào là /1=0,3, n =0,1, r(0)=10% tới 1% với các bước 1%. Tốc độ “trở lại giá trị trung bình” được định chuẩn trong ví dụ này từ lãi suất không trái tức đồng Euro sử dụng hàm hợp lý cực đại (maximum likelihood function). Phương trình cho giá trái phiếu và lãi suất là:
Giá trái phiếu và lãi suất phụ thuộc vào những hàm số. Trong ứng dụng này, t = 0, ngày hiện tại.
Cấu trúc kỳ hạn của lãi suất được tạo ra sau khi ta đã định chuẩn quá trình mô phỏng. Chúng có thể đi lên hoặc đi xuống và có những chỗ lồi, tùy vào dữ liệu đầu vào và việc định chuẩn. Với những giá trị như trên, chúng ta có nhiều biểu đổ phụ thuộc vào giá trị ban đầu của r(0), có thể được tạo ra ngẫu nhiên như minh họa ở trên. Giá trị được dùng để tạo ra những biểu đổ này được tóm tắt trong bảng 14.3.
Để tạo ra mỗi biểu đồ, ta bắt đầu với một giá trí ngẫu nhiên của r(0) và tính R(0,T) sử dụng công thức mô hình (hình 14.6).
Mô hình cho phép mô phỏng cấu trúc kỳ hạn của lãi suất. Nó chỉ tùy thuộc vào một nhân tố nên rất hạn chế.
Để mô phỏng lãi suất, với ứng dụng quản lý tài sản nợ (ALM) hay giá trị gặp rủi ro (VaR), cách làm thông thường là dùng phương pháp phân tích thành phân chính, được miêu tả trong chương 32 về những mô hình nhân tố và được sử dụng ở phần sau trong chương về mô phỏng lãi suất (chương 37).
————–&&&—————

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Đăng xuất / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: