Các lĩnh vực toán học được sử dụng trong tài chính định lượng

Các lĩnh vực toán học được sử dụng trong tài chính định lượng

(Nguồn: vnquants.com)

Câu trả lời ngắn gọn

Trong toán học, các lĩnh vực được sử dụng nhiều trong tài chính định lượng là lý thuyết xác suất và phương trình vi phân. Và dĩ nhiên, các phương pháp số thì được dùng thường xuyên để đưa ra những con số cần tìm.

Ví dụ

Những mô hình định giá quyền chọn cổ điển được viết như là một phương trình vi phân từng phần. Nhưng với cùng mô hình đó thì nó cũng có thể được hiểu dựa trên nền tảng về lý thuyết xác suất về kì vọng.

Câu trả lời đầy đủ

Các đề tài hiện nay của tài chính định lượng sử dụng nhiều công cụ từ các lĩnh vực của toán học. Và do đó các mô hình tài chính được tiếp cận bằng nhiều cách khác nhau. Bởi một số lí do “kì lạ” nào đó mà những người chủ trương theo từng lĩnh vực toán khác nhau cảm thấy khá nhạy cảm khi họ thảo luận về các ưu và nhược điểm trong những phương pháp của họ và của “đối thủ”. Đây có phải là vấn đề chủ quyền? Tất cả những sự phức tạp này là gì và nó sẽ kết thúc như thế nào?

Bên dưới đây là một danh sách các cách tiếp cận khác nhau để mô hình hóa và lựa chọn các công cụ hữu ích. Sự khác biệt về “cách tiếp cận mô hình” và “công cụ” sẽ trở nên rõ ràng.

Phương pháp tiếp cận mô hình

  • Theo mô hình xác suất
  • Theo mô hình xác định
  • Rời rạc – phương trình sai phân
  • Liên tục – phương trình vi phân

Công cụ hỗ trợ

  • Phương pháp mô phỏng
  • Phương pháp rời rạc hóa
  • Các phép tính xấp xỉ
  • Phân tích tiệm cận
  • Nghiệm chuỗi
  • Phương trình Green

Đây không phải là 1 danh sách chính xác hoàn toàn và chúng cần phải xem xét và bổ sung thêm. Nhưng trước tiên, chúng ra sẽ xem xét các cách tiếp cận mô hình.

Theo mô hình xác suất

Một trong những giả định chính về thị trường tài chính, ít nhất theo là theo như trong tài chính định lượng, giá của các tài sản sẽ mang tính ngẫu nhiên. Chúng ta có khuynh hướng mô tả các biến số tài chính theo một số quỹ đạo ngẫu nhiên, với các thông số mô tả sự tăng trưởng của tài sản và mức độ ngẫu nhiên của nó. Chúng ta mô hình một cách hiệu quả quỹ đạo tài sản thông qua các tỷ lệ tăng trưởng trung bình và độ lệch chuẩn. Cách tiếp cận này đã có ảnh hưởng lớn trong hơn 30 năm qua và dẫn đến sự bùng nổ của thị trường các sản phẩm phái sinh.

Theo mô hình xác định

Ý tưởng đằng sau cách tiếp cận này là mô hình của chúng ta sẽ cho chúng ta biết mọi thứ trong tương lai. Với đầy đủ dữ liệu và một bộ óc đủ thông minh, chúng ta có thể viết ra được một số phương trình hoặc thuật toán để dự đoán về tương lai.

Điều thú vị ở đây là các đối tượng nghiên cứu của hệ thống động và tính chất hỗn loạn đều rơi vào thể loại này. Và như bạn biết, tính chất hỗn loạn của hệ thống cho biết với điều kiện cần thiết ban đầu, việc dự đoán tương lai là điều không thể. Đây chính là hiệu ứng “cánh bướm”, đó là khi một con bướm vỗ cánh ở Brazil sẽ “gây ra” lượng mưa lớn ở Manchester.

Quá trình rời rạc và liên tục

Cho dù theo lĩnh vực xác suất hay xác định thì mô hình cuối cùng bạn thu được chỉ có thể là rời rạc hoặc liên tục. Rời rạc nghĩa là giá của tài sản hay thời gian chỉ được tăng lên trong 1 khoảng hữu hạn ví dụ 1 dollar hay 1 cent, 1 năm hay 1 ngày.

Còn trường hợp liên tục nghĩa là sẽ tồn tại số gia đủ nhỏ. Trong toán học thì quá trình liên tục thường dễ dàng hơn quá trình rời rạc. Nhưng cuối cùng, khi muốn kết quả ra 1 con số, bạn cần phải chuyển mọi trường liên tục về rời rạc.

Trong mô hình rời rạc, kết quả cuối cùng chúng ta thu được bao gồm các phương trình khác nhau. Ví dụ là mô hình định giá quyền chọn bằng cây nhị thức. Quá trình thời gian bao gồm trong 1 khoảng hữu hạn theo các bước. Còn trong mô hình liên tục thì cuối cùng chúng ta sẽ thu được phương trình đạo riêng. Mô hình cây nhị thức trong trường hợp rời rạc tương đương với mô hình Black-Schole, là mô hình có giá tài sản và thời gian tuân theo quá trình liên tục. Dù cho có là mô hình nhị thức hay Black-Schole thì cả hai đều xuất phát từ những giả định xác suất về thế giới tài chính.

Và bây giờ, chúng ta sẽ xem xét các công cụ hỗ trợ hữu ích

Công cụ mô phỏng

Nếu thế giới tài chình là ngẫu nhiên khi đó chúng ta có thể thử nghiệm dự đoán tương lai bằng cách chạy mô phỏng. Ví dụ, giá của một tài sản có thể được biểu diễn bằng tốc độ tăng trưởng trung bình và rủi ro (độ lệch chuẩn) của nó, và chúng ta sẽ mô phỏng những gì có thể xảy ra trong tương lai cho loại tài sản ngẫu nhiên này. Nếu chúng ta tiếp cận theo cách này, chúng ta phải cho chạy rất nhiều lần mô phỏng như vậy. Khi đó chúng ta sẽ thấy kết quả là một dải các khả năng trong tương lai có thể xảy ra.

Công cụ mô phỏng cũng có thể được sử dụng để giải quyết các vấn đề không thuộc lĩnh vực xác suất. Lí do là vì vấn đề tương đồng trong các phương trình toán học, mô hình mà ta nhận được từ cơ sở xác định có thể được giải thích bằng mô hình xác suất.

Phương pháp rời rạc hóa

Đây là 1 trong nhiều phương pháp được sử dụng để bổ sung cho phương pháp mô phỏng. Phương pháp nổi tiếng nhất được biết đến là phương pháp sai phân hữu hạn và là phương pháp dùng để rời rạc hóa mô hình liên tục như mô hình Back-Scholes.

Tùy thuộc vào các vấn để mà bạn đang giải quyết và trừ khi nó rất đơn giản, bạn sẽ sử dụng công cụ mô phỏng hoặc phương pháp sai phân hữu hạn để làm giảm sự phức tạp trong cách tìm ra các con số của bạn.

Việc xấp xỉ trong mô hình nhằm mục đích đưa ra những kết quả về 1 thứ có giá trị sử dụng, ví dụ như giá quyền chọn. Nếu mô hình không thực sự đơn giản thì ta không thể tìm được kết quả 1 cách dễ dàng. Đây là trường hợp việc xấp xỉ thường tỏ ra hữu ích. Với một mô hình phức tạp thì có thể sẽ có nhiều nghiệm xấp xỉ và các nghiệm xấp xỉ có thể đủ tốt cho mục đích của chúng ta.

Phương pháp phân tích tiệm cận

Đây là 1 kĩ thuật vô cùng hữu ích và được ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực toán học ứng dụng, cho đến gần đây nó hầu như là 1 ẩn số trong tài chính. Ý tưởng của kĩ thuật này rất đơn giản – tìm 1 kết quả gần đúng cho 1 vấn đề phức tạp bằng việc sử dụng những thông số hoặc biến số dù lớn hoặc nhỏ hay bằng 1 cách đặc biệt nào đó. Ví dụ như việc xấp xỉ giá trị của quyền chọn thông thường tại ngày đáo hạn.

Nghiệm chuỗi

Nếu phương trình của bạn tuyến tính (hầu hêt, các phương trình trong tài chính là tuyến tính) thì khi đó bạn có thể giải quyết một vấn đề cụ thể bằng cách cộng tất cả các giải pháp của những vấn đề khác lại với nhau. Các nghiệm chuỗi thu được khi bạn phân tách các nghiệm (có thể là vô hạn nghiệm) thành một tổng các hàm đơn giản. Ví dụ như chuỗi sin, chuỗi cosin hay chuỗi lũy thừa. Lấy ví dụ cho một trường hợp đơn giản đó là quyền chọn giới hạn có giá tài sản hiện tại được giới hạn bởi 2 mức giá trên và dưới.

Hàm Green

Đây là 1 kĩ thuật rất đặc biệt chỉ thực hiện trong những trường hợp nhất định. Ý tưởng của kĩ thuật này là kết quả của một số vấn đề phức tạp có thể được xây dựng dựa trên kết quả của từ một vấn đề tương tự trong trường hợp đặc biệt.

 

Nguồn: Frequently Asked Questions in Quantitative Finance
Tác giả: Paul Wilmott

—————&&————–

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: