Toán ứng dụng trong kinh tế

Vai trò của Toán trong Kinh tế

(Tác giả: Trần Nam Bình – Viện Đại học New South Wales, Úc)

Applied Mathematics In Economics

Applied Mathematics In Economics

1. Vai trò hiện nay của toán trong kinh tế học (Toán ứng dụng trong kinh tế)

Trước khi thảo luận vai trò của toán trong kinh tế, chúng ta nên xem xét ý nghĩa của hai từ: kinh toán học (mathematical economics) và kinh tế lượng học (econometrics).  Từ nhiều năm nay, sinh viên kinh tế trên khắp thế giới, kể cả Việt Nam, rất quen thuộc với hai từ này. Danh từ kinh toán học thường được dùng với hai nghĩa chính sau đây:

  • Một ngành riêng biệt của bộ môn kinh tế trong đó sự ứng dụng và phát triển của các kỹ thuật toán được dùng để làm sáng tỏ các vấn đề kinh tế;
  • Một tập hợp các phương pháp phân giải dùng để trình bày, phân tích và thông hiểu các hiện tượng kinh tế.

Nhiều người xem kinh toán học là phần tương ứng lý thuyết của kinh lượng học, một ngành có mục đích phân giải các hiện tượng kinh tế bằng các phương pháp thống kê.  Tuy nhiên, sự phân chia này có tính cách tiện lợi, giáo khoa hơn là xác thật bởi vì thống kê cũng chỉ là một ngành toán.  Rất nhiều nhà kinh tế hiện đại làm việc trong cả hai lĩnh vực này.  Vì thế chúng ta có thể xem kinh lượng học là một ngành trong kinh toán học.

Dù kinh toán học được thông hiểu theo nghĩa nào đi nữa, chúng ta thấy rõ toán đóng một vai trò không thể thiếu trong kinh tế học. Vai trò này đuợc thể hiện qua nhiều khía cạnh khác nhau, từ giảng dạy, nghiên cứu đến chính sách kinh tế. Dễ thấy nhất là sự phổ thông của từ kinh toán học trên mạng Internet. Đánh chữ “mathematical economics” (trong ngoặc kép) vào Google, chúng ta sẽ kiếm thấy hơn một triệu mục từ cho từ này (tuy rằng nhiều mục từ trùng nhau).

Về phương diện giáo dục và đào tạo, sinh viên cử nhân môn kinh tế tại phần lớn các đại học trên toàn thế giới đều phải bắt buộc học một vài môn toán và thống kê nhập môn.  Ngoài ra, hệ thống tín chỉ linh động cho các ngành khoa học xã hội còn cho phép sinh viên kinh tế theo chuyên đề toán, hoặc theo học các môn có sẵn trong ban kinh tế, hoặc học thẳng từ ban toán. Khi học bằng cử nhân kinh tế cách đây hơn 30 năm, tôi đã chọn khoảng 25% tổng số môn học từ ban toán.  Tôi học toán giải tích đến năm thứ ba và làm một đề án vận trù học năm thứ tư. Ngày nay, nhất là tại các quốc gia nói tiếng Anh, một số đại học còn phát bằng cử nhân với danh hiệu “kinh tế và toán” hay “toán và kinh tế”.  Một vài thí dụ tiêu biểu bao gồm Đại học Yale (Mỹ), London, Essex và Warwick (Anh), và Newcastle và Wollongong (Úc).  Khi lên đến cấp hậu đại học, sinh viên cao học và tiến sĩ ngành kinh tế nhất thiết phải đạt đến một trình độ toán tối thiểu nào đó, nếu không sẽ rất chật vật trong việc hoàn tất các môn học bắt buộc.

Dụng cụ chính yếu của giảng dạy là sách giáo khoa. Mở bất cứ cuốn sách giáo khoa kinh tế nào ra, dù là vi mô hay vĩ mô, dù là nhập môn hay cấp cao, người đọc cũng dễ dàng nhận thấy vai trò quan trọng của toán, nhất là đại số và vi tích sơ cấp, trong việc trình bày và truyền đạt các ý niệm và lý thuyết kinh tế.  Mức quan trọng của toán trong kinh tế có xu hướng càng lúc càng tăng, nhất là với các mô hình lý thuyết về thị truờng tài chính trong hai, ba thập kỷ sau này.  Điều này cũng đúng cho các tạp chí học thuật trong bất cứ tiểu ngành nào của bộ môn kinh tế. Đa số các nhà kinh tế ngày nay thích dùng toán để diễn đạt các kết quả nghiên cửu của mình. Chỉ cần nhìn thoáng qua ba tạp chí học thuật hàng đầu của kinh tế (Jounal of Political Economy, American Economic Review và Econometrica) là đủ.  So sánh các tạp chí học thuật kinh tế ngày nay với 50 năm trước cho thấy sự gia tăng ghê gớm của các biểu thức toán.  Blackhouse (1998) báo cáo tỉ lệ bài viết dùng đại số trong hai tạp chí American Economic Review và Economic Journal (tạp chí hàng đầu tại Mỹ và Anh) tăng từ dưới 10% năm 1930 đến khoảng 75% năm 1980 (xem thêm Grubel và Bolan, 1986; Dow, 1999).

Trên bình diện chính sách kinh tế, các mô hình kinh toán và kinh lượng được các viện nghiên cứu và các cơ quan chính phủ sử dụng rộng rãi và thường xuyên trong việc đánh giá và dự báo ảnh hưởng của các chu trình, xu hướng kinh tế hay các chính sách kinh tế công (đang đuợc đề nghị hay đã được thực thi).  Không kể các viện nghiên cứu công và tư, các cơ quan chính phủ bao gồm: Bộ Kinh tế, Ngân hàng Quốc gia, Tổng cục Thuế, Tổng cục Thống kê, v.v.  Các mô hình được sử dụng bao gồm: cân bằng tổng thể khả tính (computable general equilibirium model), kinh lượng vĩ mô quy mô lớn (large scale maccoeconomic econometric model), mô  hình  hoá vi mô  (microsimulation model), chuỗi thời gian (time series), v.v. (xem, thí dụ như, Bank of England, 1999; Statistics Canada, 2002; Centre of Policy Studies, 2006).

Nhưng đóng góp của toán học trong kinh tế có lẽ được biểu hiện rõ ràng nhất qua danh sách 58 nhà khoa học đoạt giải Nobel kinh tế, giải thưởng học thuật cao quý nhất của kinh tế học, từ khi giải này ra đời năm 1969.  Trong danh sách này, đa số đều có thể xem là nhà kinh toán hay kinh lượng học.  Những người không dùng toán làm dụng cụ chính trong việc truyền bá lý thuyết kinh tế của mình chỉ là thiểu số.  Có những toán gia thuần túy đã từng thắng giải Nobel kinh tế, thí dụ như Leonid Kantorovich và John Nash.  Nhà bác học cuối cùng, John von Neumann, nếu sống đủ lâu, chắc chắn nhận giải Nobel kinh tế cho thuyết trò chơi của ông.  Rất nhiều người thắng giải Nobel đã chuyển sang lĩnh vực kinh tế từ gốc thuần toán như Gérard Debreu, Kenneth Arrow, Robert Aumann, Tjalling Koopmans, v.v.  Điều này cho thấy tính nghiêm túc của toán rất phù hợp cho lý thuyết  kinh tế và khẳng định vai trò gần như độc tôn của toán trong kinh tế học.

Tuy nhiên vai trò của toán trong kinh tế không phải là không gặp chống đối. Ngay từ thế kỷ 18, nhiều học giả đã cảnh cáo ứng dụng của toán trong kinh tế và xu hướng này vẫn tiếp tục cho đến ngày nay. Thí dụ, trường phái Áo tin rằng tất cả những gì ra ngoài lý luận đơn giản thường là không cần thiết hay không thích hợp cho kinh tế.  Những người chỉ trích vai trò của toán trong kinh tế có thể chia thành hai loại. Loại thứ nhất chối bỏ vai trò của phương pháp toán trong kinh tế. Họ cho rằng hệ thống kinh tế phản ánh sự tương tác của con người, không phải là một hệ thống thiên nhiên, do đó vật lý hay toán học không phải là những phương pháp thích ứng để tìm hiểu, phân tích và thông hiểu kinh tế học. Loại thứ hai, ít cực đoan hơn, phản đối sự lạm dụng của toán trong kinh tế vì nó sẽ dẫn đến sự đào thải dần dần của các phương pháp phi toán trong việc truyền đạt ý tưởng kinh tế. Grubel và Bolan (1986) báo cáo kết quả một cuộc thăm dò ý kiến cho thấy các nhà kinh tế hàng đầu quan tâm đến việc toán càng ngày càng đuợc sử dụng quá nhiều trong giảng dạy hậu đại học và các bài nghiên cứu được xuất bản.  Tương tự, Munir và Rashid (1994) tường trình lời phê bình về vai trò có vẻ quá lớn của toán trong kinh tế từ những kinh toán gia và kinh lượng gia lỗi lạc, đặc biệt nhất là bốn kinh tế gia Pháp, Anh từng đoạt giải Nobel như Maurice Allais, Gérad Debreu, John Hicks và Richard Stone.  Mặc cho những phê bình, chỉ trích, quan tâm này, cho đến nay vẫn chưa có bằng cớ cụ thể nào cho thấy xu hướng toán hoá kinh tế học sẽ giảm sút trong tương lai.

2. Lịch sử của toán trong kinh tế học

Sự ứng dụng của toán trong kinh tế không phải là một hiện tượng mới. Thật ra toán đã đóng vai trò đáng kể trong kinh tế học trên dưới một thế kỷ nay mặc dù các thuyết kinh tế cổ điển (classical economics) đã được phát triển và hệ thống hoá mà không cần dùng toán.  Lấy thí dụ, hai kinh tế gia cổ điển lớn nhất, Adam Smith và David Ricardo, chỉ dùng thí dụ bằng số để minh hoạ các lý thuyết của mình.  Họ phối hợp các quan sát thực tế một cách phi toán với các lý luận suy diễn về liên hệ nhân quả để giải thích hệ thống kinh tế làm việc như thế nào.  Ngay trong công trình của các kinh tế gia cổ điển vĩ đại cuối cùng như John Stuart Mill và Karl Marx, công thức toán hay đồ thị cũng chỉ là một loại tốc ký hay phương cách trình bày mà thôi.  Một ngoại lệ đáng kể là thuyết dân số của Thomas Malthus(1798) trong đó Malthus lập luận rằng dân số tăng theo cấp số nhân trong khi thực phẩm chỉ tăng theo cấp số cộng.

Ngày nay, phần lớn các nhà kinh tế đồng ý rằng Augustin Cournot, triết gia và toán gia Pháp, xứng đáng nhận lãnh danh hiệu “cha đẻ của kinh toán học”.  Cournot (1838) được coi là khai sinh ra kinh toán học vì ông đã hệ thống hoá sự ứng dụng ký hiệu, công thức và lý luận toán trong kinh tế.  Sau thời Cournot, hầu hết các kinh tế gia danh tiếng đều phải sử dụng toán, không ít thì nhiều, trong việc phát triển và truyền đạt các lý thuyết của mình.  Cournot được xem là một trong những kinh tế gia đầu tiên đã thành công trong việc thành lập một lý thuyết giá trị nhất quán qua các phân tích về tiêu thụ.  Một vài đóng góp cụ thể của ông cho kinh tế gồm có: ý niệm hàm và xác xuất trong phân tích kinh tế, hàm cầu, hàm cung, thuyết độc quyền và lưỡng độc quyền (duopoly).  Cũng nên nhắc là thuyết lưỡng độc quyền của Cournot đánh dấu bước đầu nghiêm túc của thuyết trò chơi và giải pháp của Cournot là một hình thức hạn chế của cân bằng Nash.

Các công trình của Cournot đánh dấu sự chuyển đổi từ kinh tế cổ điển qua kinh tế tân cổ điển (neoclassical economics) (xem Hildenbrand, 1982).  Cả hai thuyết đều quan tâm đến sản xuất, phân bố, trao đổi và tiêu thụ của cải (của cải theo nghiã hàng hoá).  Các kinh tế gia cổ điển chú ý đến sản xuất và phân phối của cải qua thời gian. Họ nhấn mạnh tỷ lệ tăng truởng dân số và nguồn lực vật chất, và xem xét hậu quả của các nhân tố này lên tiến bộ kinh tế cũng như phúc lợi của nhân dân và xã hội.  Các kinh tế gia tân cổ điển ít quan tâm đến các khiá cạnh động.  Thay vào đó, họ đặt câu hỏi: “trong một nền kinh tế với dân số có sở thích, nguồn lực và kỹ thuật cho sẵn, làm sao các nguồn lực có thể phân phối qua một hệ thống thị trường để cực đại hoá sự thoả mãn của người tiêu thụ?”  Dùng thuật ngữ kinh tế ngày nay, sự chuyển đổi từ kinh tế cổ điển qua tân cổ điển là sự xê dịch từ phân tích kinh tế vĩ mô sang vi mô.  Đường hướng mới này (xem vấn đề quyết định cá nhân như một vấn đề tối ưu) có thể giải quyết một cách toán học bằng phương pháp giải tích.  Walras (1874) lý luận: “Chỉ có toán mới có thể giúp chúng ta hiểu ý nghĩa của điều kiện hữu dụng tối đa (maximum utility).”

Kinh tế tân cổ điển khởi đầu với ba kinh tế gia: Stanley Jevon (Anh), Carl Menger (Áo) và Léon Walras (Pháp).  Ba kinh tế gia này thường được xem là ông tổ của “Cách mạng Biên tế” (Marginalist Revolution).  Danh từ biên tế liên quan đến kết quả toán của điều kiện biên tế cho cân bằng thị trường.  Quan trọng nhất trong ba kinh tế gia này là Walras, người được Joseph Schumpeter (1954: 827) xưng tụng là “kinh tế gia vĩ đại nhất”.  Lý do Walras được gọi như vậy là vì Walras (1874) đã khám phá ra lý thuyết cân bình tổng thể (general equilibrium theory).  Thuyết này giải thích quân bình của một hệ thống kinh tế thị trường qua quá trình điều chỉnh giá cả mà trong đó các tác nhân kinh tế riêng rẽ không thể ảnh hưởng lên giá thị trường.  Nói tóm gọn, Walras đã xếp đặt một chương trình nghiên cứu mà rất nhiều kinh tế gia thế kỷ 20 đã theo đuổi.  Cùng với học trò là Vilfredo Pareto, Walras sáng lập trường phái Lausanne, có thể xem là trường phái kinh toán đầu tiên trên thế giới.

Từ khi kinh tế tân cổ điển xuất hiện đến nay, phấn lớn những đóng góp quan trọng nhất cho lý thuyết kinh tế là từ kinh tế gia có đầu óc toán học.  Những kinh tế gia này dều xem toán là cần thiết và không thể thiếu.  Hai ngoại lệ đáng chú ý là hai kinh tế gia Anh, Alfred Marshall và John Maynard Keynes.  Marshall học và dạy toán tại Cambridge, trước khi chuyển sang kinh tế.  Tuy Marshall đã mang tính nghiêm túc của toán vào kinh tế, ông tỏ vẻ nghi ngờ vai trò của toán trong kinh tế.  Ông cho rằng các biến số thật trong đời sống quá nhiều và hổ tương với nhau (interrelated) do đó (i) các cố gắng toán hoá sẽ làm vấn đề quá phức tạp, không nghiên cứu được, và (ii) nếu phải bỏ sót để vấn đề có thể phân tích được, thì lời giải thích sẽ trở thành thiếu thực tế.  Trong sách Nguyên lý Kinh tế, Marshall (1890) giới hạn lý luận toán vào chú thich cuối trang, do ddó các lập luận trong văn bản đều là bằng lời. Khá nhiều kinh tế gia cho rằng (i) Marshall không hoàn toàn thành thật khi phê bình như vậy, và (ii) thật ra muốn hiểu các lập luận của Marshall thật sâu người đọc phải biết nhiều hơn về toán hơn là Marshall thừa nhận (xem Hildenbrand, 1982: 66).

Keynes, giống như Marshall, ban đầu được đào tạo để trở thành một nhà toán học và cũng nghi ngờ vai trò của toán trong kinh tế.  Keynes chỉ dùng một ít toán và lý luận rằng khả năng của toán trong việc thu hút nội dung của kinh tế rất là hạn chế.  Việc này dễ hiểu được vì quan tâm chính của Keynes là chính sách kinh tế và một kinh tế gia muốn phát biểu các dề xuất cho các vần đề kinh tế khẩn cấp, phải dùng ngôn ngữ càng ít toán càng tốt.  Nhưng cũng vì thế mà công trình vĩ đại nhất của Keynes (1936) có nhiều chỗ không rõ ràng và mâu thuẫn (có lẽ vì Keynes thay đổi các giả thiết ẩn tàng từ chương này qua chương khác).  Dù sao Keynes cũng dặt nền móng cho kinh tế vĩ mô hiện đại và mở màn cho một chương trình nghiên cứu thúc đẩy vai trò của toán trong kinh tế và ứng dụng của toán trong các công trình thực nghiệm.

Trong thế kỷ 20, các công trình kinh toán to lớn nhất xuất hiện sau Thế chiến Thứ hai.  Trong phạm vi bài này, tôi chỉ xin nêu ra, một cách ngắn gọn, ba thí dụ tiêu biểu nhất.

Thứ nhất, Paul Samuleson, lý thuyết gia kinh tế lỗi lạc nhất của thế kỷ 20. Samuelson (1947) được nhiều người xem là cha đẻ của kinh toán học hiện đại qua cuốn sách Nền tảng của Phân tích Kinh tế.  Cuốn sách này, rút ra từ luận án tiến sĩ năm 1941 của Samuelson, dùng ngôn ngữ toán nghiêm túc thống nhất các thuyết kinh tế bằng một vài nguyên lý cơ bản, và đặt nền tảng cho các nghiên cứu kinh toán hiện đại.  Nhờ ảnh hưởng của Samuleson, trọng tâm nghiên cứu kinh toán học đã dần chuyển từ Âu châu sang Bắc Mỹ.

Thí dụ thứ nhì là mô hình cạnh tranh hoàn hảo Arrow–Debreu–McKenzie (ADM), dựa trên các công trình của Arrow & Debreu (1954) và Lionel McKenzie (1954).  Mô hình ADM là mô hình trung tâm của lý thuyết cân bình tổng thể và thường được dùng làm một tham khảo tổng quát cho các mô hình kinh tế vi mô khác.  So sánh với các mô hình trước đó, mô hình ADM dùng một ý niệm hàng hoá rất tổng quát, phân biệt hàng hoá bằng không gian lẫn thời gian.  Dưới một số giả thiết nhất định, Arow và Debreu đã dùng vị tướng học (topology), thay vì giải tích, để chứng minh sự hiện hữu của một cân bình tổng thể của thị trường cạnh tranh hoàn hảo (tức là cân bình Walras).  Điều đáng chú ý là Debreu từng là một thành viên của nhóm toán gia lừng danh Bourbaki và đã dùng phương pháp tiên đề trong các nghiên cứu kinh tế của ông.

Thí dụ thứ ba là lý thuyết trò chơi.  Tuy có nhiều người đã thảo luận một số ý niệm về thuyết trò chơi trước đó, nhà bác học von Neumann thường được xem là cha đẻ của thuyết trò chơi vì ông đã phát triển khá hoàn hảo và phổ thông hoá thuyết này (xem von Neumann và Morgenstern, 1944).  Von Neumman đề xuất thuyết trò chơi như một thứ ngôn ngữ mới dùng để biểu diễn và giải quyết các vấn đề kinh tế một cách chính xác. Lối tư duy mới này nhấn mạnh sự tương tác chiến lược giữa các tác nhân kinh tế (cá nhân, doanh nghiệp, chính phủ, vv).  Như vậy, lý thuyết cân bình tổng thể có thể xem là một trường hợp đặc biệt của thuyết trò chơi.  Tác phẩm chung của von Neumann và Morgenstern đã cách mạng hoá bộ môn kinh tế và nghiên cứu trong kinh tế.  Tuy rằng cuốn sách này viết riêng cho các nhà kinh tế, sự ứng dụng của thuyết trò chơi trong tâm lý học, xã hội học, chính trị học, chiến tranh, các trò chơi giải trí, v.v. trở nên rõ ràng khá nhanh sau đó.

Ngoài von Neumann, nhiều toán gia khác cũng tìm cách ứng dụng toán thuần lý vào lĩnh vực kinh tế trong hậu bán thế kỷ 20.  Nổi tiếng nhất có lẽ là toán gia Steve Smale, người thắng Huy chương Field năm 1966 (một phần vì đã chứng minh Ước đoán Poincaré cho trường hợp n ³ 5).  Smale đã đóng góp rất nhiều cho lý thuyết kinh tế trong thập kỷ 1970.  Ông đã thành công trong việc mang giải tích toàn bộ, vị tướng học và động học vào những nghiên cứu về cân bình kinh tế tổng quát.

Để có một cái nhìn khách quan và toàn diện hơn, chúng ta cũng nên xét qua vài thí dụ về các ứng dụng toán không thành công lắm trong kinh tế.  Hai thí dụ tiêu biểu nhất có lẽ là thuyết tai biến (catastrophe theory) và thuyết hỗn độn (chaos theory).  Sau nhiều thập kỷ phát triển dần dần, thuyết tai biến chính thức xuất hiện vào đầu thập kỷ 1970 qua những công trình đột phá của René Thom (1969).[3]  Sau đó, thuyết tai biến đã được áp dụng trong khá nhiều nghiên cứu kinh tế, thí dụ như thị trường chứng khoán, thị trường độc quyền, chu trình kinh tế, mô hình lạm phát, đầu cơ hối suất, thuyết tăng trưởng, kinh tế thành phố và vùng, kinh tế sinh thái, vv (xem Rosser 2007).  Vào cuối thập kỷ 1970, nhiều tác giả bắt đầu chỉ trích sự lạm dụng của thuyết tai biến (không phải chỉ trong kinh tế) vì ba lý do chính như sau: (i) thuyết tai biến dựa quá nhiều trên các phương pháp định tính, (ii) nhiều ứng dụng đòi hỏi các định lượng hoá giả mạo hay phương pháp thống kê không thích hợp, và (iii) rất nhiều mô hình không thoả những điều kiện toán cần cho thuyết tai biến.  Cũng vì thế mà trong thập kỷ 1990, gần như không có bài nghiên cứu nào đăng trong các tạp chí kinh tế hàng đầu dám nhắc đến thuyết tai biến.  Ngày nay, phần đông các nhà kinh tế có một cái nhìn đúng đắn và lạc quan hơn về thuyết tai biến.  Tuy không phải là kỹ thuật tổng quát có thể dùng cho mọi trường hợp, thuyết tai biến vẫn đóng một vai trò nhất định nào đó trong việc nghiên cứu hiện tượng bất liên tục động trong kinh tế (Roser 2007).

Giống như thuyết tai biến, thuyết hỗn độn có nguồn gốc sâu xa từ những công trình nghiên cứu về toán và cơ học thiên thể của “toán gia phổ quát cuối cùng” Henri Poincaré vào cuối thế kỷ 19.  Poincaré nhận thấy rằng các hệ thống xác định, động, phi tuyến, đơn giản (simple nonlinear dynamic deterministic systems) dưới một số điều kiện nào đó tiến hoá một cách có vẻ như ngẫu nhiên, phức tạp.  Những hệ thống này rất nhạy cảm với điều kiện ban đầu và do đó dự đoán dài hạn với bất kỳ độ chính xác nào đòi hỏi các điều kiện ban đầu được định rõ tới mức chính xác vô cực.  Bắt đầu từ giữa thập kỷ 1970, thuyết hỗn độn đã được áp dụng vào rất nhiều lĩnh vực kinh tế khác nhau (xem Baulmol & Benhabib 1989).

Ứng dụng của thuyết hỗn độn trong kinh tế gây ra vài trở ngại chính như sau.  Thứ nhất, sự có mặt của hỗn độn làm dự đoán dài hạn không khả thi, và người dự báo sẽ phải trả giá cực kỳ cao nếu chỉ muốn tăng tầm xa dự báo lên chút ít.  Tính không dự đoán dài hạn này cũng trái ngược với giả thiết kỳ vọng hợp lý (rational expectations), một ý niệm cơ bản trong các lý thuyết kinh tế hiện đại. Thứ hai, quan trọng hơn, các nhà nghiên cứu chưa tìm được bằng chứng có tính thuyết phục về sự hiện diện của hỗn độn xác định trong các chuỗi dữ kiện kinh tế thời gian.  Nếu như thế, các nhà kinh tế có nên tiếp tục bỏ công sức vào thuyết hỗn độn hay nên khảo sát các dạng động lực phi tuyến khác với khả năng tiên đoán tốt hơn?  Tuy nhiên, thuyết hỗn độn nói chung không bị các nhà kinh tế tránh né như thuyết tai biến.  Một số nhà kinh tế cho rằng thuyết hỗn độn vẫn cần cho lý thuyết kinh tế, nhưng các dụng cụ và phương pháp nghiên cứu phải khác hơn những kỹ thuật dùng trong quá khứ.

3. Toán và Nghiên cứu Kinh tế

Như đã thảo luận bên trên, sự phát triển của lý thuyết kinh tế học hiện đại dựa vào toán rất nhiều.  Điều đó cũng không đáng ngạc nhiên vì toán có nhiều lợi thế hơn các ngôn ngữ khác.

Toán:

  • Là một phương cách truyền thông ý tưởng và kiến thức ngắn gọn, chính xác và nghiêm túc;
  • Có lẽ là một ngôn ngữ phổ quát nhất nhờ sự tiêu chuẩn hoá các ký hiệu toán trên toàn thế giới;
  • Là một dụng cụ suy diễn lý luận rất mạnh (nhờ vào sự phong phú của các định lý toán); và
  • Là phương pháp rất ích lợi trong việc giải quyết các vấn đề quá phức tạp cho tưởng tượng hay trực giác.

 Tuy nhiên, toán cũng bị một số bất lợi chính như sau:

  • Ngôn ngữ toán giới hạn hơn ngôn ngữ hàng ngày do đó phạm vi các vấn đề có thể giải bằng toán cũng bị hạn chế hơn;
  • Rất nhiều người không thoải mái với toán và không thể nhớ và áp dụng toán, dù chỉ là các luật toán căn bản; và
  • Nhưng nhà kinh toán học trong khi truyền đạt ý tưởng của mình có thể vô ý làm toán trở thành chủ nhân thay vì người hầu.

Blackhouse (1998) nhận diện các lợi ích chính của toán trong nghiên cứu kinh tế như sau:

  • Làm rõ những gì chúng ta biết qua cách trình bày những gì chứng minh được và những gì không chứng minh được;
  • Giúp tích lũy kiến thức qua thời gian bởi vì các các thế hệ sau có thể dễ dàng theo dõi các lý luận toán; và
  • Cung cấp một động cơ cho khám phá.

Về vấn đề toán hóa kinh tế học, Debreu phát biểu: “[Toán] không ngừng đòi hỏi các giả thiết yếu hơn, các kết luận mạnh hơn, tính cách tổng quát hơn.  Trong dạng toán, lý thuyết kinh tế phải cam chịu các đòi hỏi này… Toán cũng bắt buộc nhu cầu phải đơn giản.” (lập lại trong Blackhouse, 1998).

Trong thế kỷ 20, các nhà kinh toán học dần dần thay phương pháp quan sát thực nghiệm của khoa học thiên nhiên (như vật lý) bằng phương pháp công lý (axiomatic approach) trong nghiên cứu kinh tế thuần lý.  Điều này và nhu cầu đo lường đã dẫn đến sự nhị phân giữa lý thuyết thuần túy (kinh toán học) và lý thuyết ứng dụng (kinh lượng học).  Nghiên cứu kinh tế thuần lý dùng các phương pháp phân tích toán, nhiều khi phức tạp, về cách xử lý của các tác nhân kinh tế dựa trên hai giả thiết: tính hợp lý (rationality) và tính vị kỷ (self interest).  Đường hướng nghiên cứu này nhấn mạnh vào nguyên lý cực đại hoá hữu dụng (utility maximizing) cũng như sự hiện hữu của một cân bình duy nhất và bền (stable).  Lý thuyết ứng dụng ngược lại tập trung vào các dạng rút gọn (reduced forms) mà dữ kiện đòi hỏi có thể kiếm được trong các quan sát, đo lường thực tế.  Vì hai lối nghiên cứu này có hai mục đích khác nhau, kỹ thuật toán dùng trong kinh toán học có xu hướng khác với các kỹ thuật dùng trong kinh lượng học.  Các nhà nghiên cứu thời nay có xu hướng chuyên môn hoá, hoặc kinh toán học hoặc kinh lượng học.  Ngay cả các tác giả vừa làm nghiên cứu trong cả hai lĩnh vực cũng có xu hướng phân chia phần lý thuyết và phần thực nghiệm trong các bài nghiên cứu của mình.  Trong phạm vi hạn hẹp của bài này, tôi xin phép không bàn sự nhị phân này có gây ra vấn đề gì không và có thể vượt qua được không? (nếu muốn tìm hiểu, xin xem thêm Blackhouse, 1998).

Đến đây, chúng ta có thể tóm gọn vai trò của toán trong nghiên cứu kinh tế như sau (xem thêm Hildenbrand, 1982):

Toán chỉ là một phương tiện, không phải là cứu cánh, và do đó tầm nhìn về sự kiện và ý nghĩa phải nhất thiết đi trước việc phân tích vấn đề (hai thí dụ tốt cho điểm này là “Sự Thịnh vượng của các Quốc gia” của Adam Smith (1776) và “Lý thuyết Chung” của Keynes (1936));

Phẩm chất của một lý thuyết kinh tế hoàn toàn không tùy thuộc vào chiều sâu hay tính phức tạp của nội dung toán trong thuyết đó (hai thí dụ tốt là Định luật Coase (1937) và Thuyết Thị trường Hàng hoá xấu của George Akerlof (1970).

Vai trò của toán trong kinh tế lý thuyết trong bản chất chắc chắn nhiều hơn chỉ là một loại tốc ký hay dụng cụ biểu diễn tiện lợi;

Cuộc tranh cãi về vai trò của toán trong kinh tế học đúng ra không phải tranh luận về nên hay không nên dùng toán trong kinh tế, mà là về “dùng bao nhiêu toán” và “dùng toán loại nào” (hình học, đại số, giải tích, vị tướng, thống kê, toán số).  Không phải ngẫu nhiên mà Francis Edgeworth (1881) gọi giải tích là “tiếng mẹ đẻ của kinh tế học”.

Trước khi chấm dứt phần này, chúng ta hãy xem hai thí dụ cụ thể về ứng dụng của toán trong nghiên cứu kinh tế.

-Thí dụ thứ nhất dựa trên công trình của Allingham và Sandmo (1972) về sự trốn thuế.  Mô hình này đã gây một tiếng vang khá lớn trong lý thuyết tài chính công và đã được nới rộng rất nhiều.  Trong phạm vi bài này, với mục đích minh hoạ, chúng ta chỉ cần xem xét mô hình nguyên thủy.  Đây là một mô hình tương đối đơn giản, thuộc loại cân bình cục bộ (partial equilibrium), tĩnh (static) và ngẫu nhiên (stochastic) với một biến số nội sinh (endogenous variable) duy nhất.

Vấn đề: Một kinh tế nhân (homo economicus) sẽ tuân thủ luật thuế thu nhập như thế nào, giả thử một hệ thống kiểm tra và nộp phạt cho sẵn?

Giả thiết (assumptions): Kinh tế nhân cực đại hoá hàm hữu dụng (utility function) tùy thuộc vào thu nhập sau thuế.

Mô hình hoá vấn đề: Bước đầu là đặt ký hiệu.  Gọi:
y = thu nhập thật (y > 0)

t = thuế suất (0 < t < 1)

x = thu nhập khai báo (x < y)

z º y – x = số lượng thu nhập trốn thuế

p = xác xuất bị kiểm tra (0 < p < 1)

q = tỉ lệ nộp phạt cho mỗi đồng trốn thuế

u = hàm hữu dụng (tăng và lõm theo thu nhập)

 Bước kế là đặt vấn đề.  Nếu trốn thuế và không bị Cục Thuế kiểm tra, thu nhập sau thuế của người đóng thuế sẽ là y – tx = (1-t)y + tz.  Nếu bị kiểm tra, thu nhập sau thuế và sau khi bị phạt của người đóng thuế sẽ là

y – tx –(t+q)z = (1-t)y qtz.

Như vậy, vấn đề này có thể đặt dưới dạng toán như sau:

Chọn z để cực đại hoá EU = pu[(1-t)yqtz] + (1-p)u[(1-t)y + tz)] tùy theo
ytpq , 0 < t < 1 và 0 < p < 1
 cho sẵn.

Phân tích mô hình:  Trong một mô hình như trên, ta gọi các thông số như y, t, p, q, t và p là các biến số ngoại sinh (exogenous variables) và biến số chọn lựa z là biến số nội sinh.  Đi tìm cân bình của mô hình là tìm trị của biến số nội sinh z theo tập hợp các biến số ngoại sinh.  Vì đây là một vấn đề cực đại hoá bị ràng buộc, phép toán vi phân là dụng cụ phân tích thích hợp.  Lấy đạo hàm của EU theo z, điệu kiện bậc một của cực đại nội (interior maximum) của EU là:

– pqu ’[(1-t)yqtz] +(1-p)tu’[(1-t)y + tz)] = 0

Trong đó u’ là đạo hàm bậc một của u (tức là hữu dụng biên tế).  Xin lưu ý là điều kiện bậc hai cho một cực đại toàn bộ thoả vì giả thiết u” < 0.  Trên nguyên tắc, ta có thể giài phương trình trên để tìm trị của z theo y, t, p and q, tức là

z = f(y, t, p, q)

Đây là dạng rút gọn (reduced form) của mô hình. Phân tích tĩnh so sánh (comparative static analyis) có nghiã là chúng ta xác định dấu của các đạo hàm bậc một từng phẩn của f.  Trong trường hợp này, trong khi cả hai fp và fq  đều âm (nếu xác xuât kiểm tra tăng hay tỉ lệ nộp phạt tăng, số lượng thu nhập trốn thuế sẽ giảm), dấu của fy và ftkhông rõ (nghiã là ảnh hưởng của thu nhập hay thuế suất lên số thu nhập trốn thuế không minh bạch trong trường hợp tổng quát).

Giới hạn của mô hình: Mô hình trên có hai vấn đề.

  • Thứ nhất, mô hình này dựa trên quan điểm rất giới hạn vể bản chất con người và không phù hợp với các quan sát thực nghiệm về sự tuân phục luật thuế.  Rất nhiều người vốn đã trung thực và sẵn lòng nộp đủ thuế ngay cả khi có cơ hội trốn thuế mà không sợ bị kiểm tra.
  • Thứ hai, mô hình này không kết hợp hành xử chiến lược (strategic behaviour) của Cục Thuế.  Thuyết trò chơi có lẽ là một dụng cụ phân tích thích hợp hơn cho vấn đề này.

Thí dụ bên trên cho thấy sức mạnh cũng như hạn chế của các phương pháp toán trong việc mô hình hoá các hành xử về thuế.  Trong khi phép tính vi phân cung cấp một dụng cụ phân tích rất mạnh, công thức hoá một mô hình kết hợp tính trung thực của người đóng thuế hay tìm được kết quả minh bạch mà không cần đòi hỏi thêm giả thiết về ý muốn của người đóng thuế thật không phải là chuyện dễ dàng.

-Thí dụ thứ hai là mô hình tăng trưởng nội sinh (endogeneous growth model), một đề tài nghiên cứu kinh tế rất lớn trong hơn 15 năm qua.  Các tài liệu về mô hình tăng trưởng nội sinh rất đa dạng và phong phú.  Trong bài này, chúng ta chỉ xét một thí dụ tương đối giản dị dựa trên công trinh khai phá của Hirofumi Uzawa (1965).  Đây là một mô hình thuộc loại kết tập (aggregative), xác định (deterministic) và động (dynamic) với thời gian liên tục (continuous time).

Trong mô hình này dân số (đồng nghĩa với lực lượng lao động) tăng theo luật số mũ với một tỷ lệ cho sẵn.  Người lao động làm việc trong khu vực kiến thức hay sản xuất.  Kiến thức nẩy sinh ra vốn con người (human capital) trong khi sản phẩm cuối (final output) có thể tiêu thụ hay để dành thành vốn nhân tạo (physical capital).  Đặt:

             L(t) = tổng lao động tại thời điểm t;

             Lp(t)= tổng lao động dùng trong sản xuất tại thời điểm t (0 £ Lp(t) £ L(t);

A(t) = trữ lượng kiến thức tại thời điểm t;

K(t) = trữ lượng vốn nhân tạo tại thời điểm t,

Q (t) = tổng sản phẩm tại thời điểm t; và

C (t) = tổng tiêu thụ tại thời điểm t.

Dưới một số giả thiết không gò bó lắm, sự tăng trưởng qua thời gian của nền kinh tế có thể diễn tả bắng hệ thống phương trình vi phân sau:

trong đó n (tỷ lệ tăng dân số) ³ 0, a(tỷ lệ hiệu quả trong khu vực kiến thức) > 0 và L(0), A(0) và K(0) cho sẵn.

Tổng sản phẩm là hàm của hai nhân tố không thể thiếu: vốn nhân tạo (K) và vốn con người dùng trong sản xuất (ALp):

Q(t) = F[K(t), A(t)Lp(t)]

ALp có thể xem là lao động trong sản xuất tính theo đơn vị hiệu quả thay vì đầu người.  Hàm sản xuất F được giả thử là hàm đồng nhất bậc một, tăng nghiêm ngặt (strictly increasing), lõm và thoả điều kiện Inada (F1 ® ¥ khi K ® 0 và F2 ® ¥ khi ALp ® 0).

Để hoàn tất mô hình ta giả thử một chính phủ vĩnh cửu cho nền kinh tế.  Chính phủ này đánh thuế lên người làm việc trong khu vực sản xuất (vì những người thợ này hưởng lợi trực tiếp từ kiến thức) để trả cho khu vực kiến thức.  Thuế suất tại thời điểm tt(t),  được cho bởi điều kiện t(t)w(t)L(t) = w(t)[L(t)–Lp(t)] trong đó w(t) là lương thợ sản xuất tại thời điểm t.  Đơn giản hoá, ta có t(t) = 1 – Lp(t)/L(t).  Hơn nữa, chính phủ này chọn C(t) và Lp(t) để cực đại hoá hàm phúc lợi xã hội.

Theo bốn ràng buộc về    và Q, r (> n) là tỷ suất chiết khấu xã hội (social discount rate), c(t) º C(t)/L(t) là tiêu thụ tính theo đầu người, và hàm u tăng và lõm.

Mô hình tăng trưởng nội sinh như trên trở thành bài toán diều khiển tối ưu (optimal control problem) với hai biến điều khiển (control variables) C(t) và Lp(t) và hai biến trạng thái (state variables) K(t) và A(t).  Vì phương pháp phân tích mô hình này khá chuyên môn, tôi chỉ xin lướt qua như sau.  Đầu tiên chúng ta phải thiết lập hàm Hamiltonian của vấn đề điều khiển trên, và sau đó tìm ra các điều kiện cần cho bài toán tối ưu.  Từ những điều kiện này, chúng ta có thể phân tích sự tiến hoá của nền kinh tế.  Ba câu hỏi chính là:

(i)     Từ những điều kiện ban đầu cho sẵn, nền kinh tế này có tiến tới một cân bình vững (steady state) hay không?

(ii)      Cân bình vững có hiện hữu duy nhất không?

(iii)     Trong cân bình vững này, các biến điều khiển và trạng thái sẽ tăng trưởng với mức độ nào?

Nói chung, tuy mô hình giản dị nhưng bài toán cũng trở thành khá phức tạp.  Muốn mô tả đặc điểm của cân bình vững, chúng ta cần hạn chế hình dạng của u.  Dưới giả thiết u là hàm đẳng đàn hồi (isoelastic), tức là u”/u’ = – a/c ( > 0), chúng ta có thể chứng minh rằng cân bình vững, nếu hiện hữu, là duy nhất, và trong cân bình vững này, trữ lượng vốn nhân tạo, trữ lượng vốn con người, tổng sản phẩm và tổng tiêu thụ tất cả cùng tăng với tỷ lệg = [a r + +1)n]/ (xem Tran-Nam & Truong 1994).  Nếu hạn chế thêm n = 0 và   (0 < < 1), chúng ta có thể mô tả sự tiến hoá của nền kinh tế với các công thức tường minh và chứng minh rằng, tuỳ theo điều kiện ban đầu, nền kinh tế hoặc đạt cân bình vững ngay từ đầu, hoặc sẽ tiến tới cân bình vững một cách đều đặn khi thời gian tiến tới vô hạn (xem Truong & Tran-Nam, 2006).

Thí dụ này làm sáng tỏ các lời phát biểu của Debreu nói trên: làm sao toán có thể giúp chúng ta tìm ra những kết quả mạnh hơn dưới những giả thiết yếu hơn và các điều kiện tổng quát hơn.  Về ý kinh tế, kiến thức trong mô hình như trên là một đầu vào thuần túy công (pure public input), không thể cung cấp được trong nền kinh tế thị trường.  Làm sao chúng ta có thể thiết lập một mô hình tăng trưởng nội sinh mà trong đó sự tích lũy vốn con người là kết quả của các quyết định đầu tư cá nhân?  Đây là loại câu hỏi giúp chúng ta thiết lập và phân tích các mô hình mới.

4. Kết luận

Toán đóng một vai trò rất quan trọng, có thể nói lả không thể thiếu, trong bộ môn kinh tế.  Vai trò này có xu hướng tăng dần theo thời gian, mặc dù vẫn còn sự phê bình, chống đối việc dùng toán làm một phương pháp chính để phân tích, thông hiểu một hệ thống nhân văn phức tạp như hệ thống kinh tế..  Nói chung, toán đã giúp kinh tế, nhất là kinh tế lý thuyết, tiến triển rất nhiều.  Dĩ nhiên, toán hoá đã và đang làm thay đổi bản chất và phạm vi của bộ môn kinh tế.  Toán cũng ảnh hưởng rất lớn đến sự truyền đạt ý niệm và đề xuất kinh tế, không những giữa các nhà kinh tế với nhau, mà còn giữa các nhà kinh tế và dân chúng, và giữa các nhà kinh tế và các nhà làm chinh sách.

Vì thế, các sinh viên, các giáo viên, các nhà nghiên cứu trong bộ môn kinh tế tại Viêt Nam, dù muốn hay không, cũng phải đạt đến một trình độ toán (nhất là toán giải tích) tối thiểu nào đó để theo dõi và tham gia các tiến triển trong nghề chuyên môn của mình.  Điều này đặc biệt đúng cho các người muốn ra nước ngoài học thêm hay làm nghiên cứu.  Vể phương diện nghiên cứu, rất nhiều nhà kinh tế tại Việt Nam có căn bản toán rất tốt và do đó có tiềm năng phát triển thành các nhà kinh tế lý thuyết với các công trình nghiên cứu giá trị tương lai.  Tuy nhiên, kiến thức về lý thuyết kinh tế thị trường của các nhà kinh tế này có thể chưa sâu lắm, do đó việc tìm kiếm đề tài thích hợp cũng là một vấn đề.  Nhưng điều này có thể vượt qua bằng sự tìm tòi của chính họ hay sự cộng tác với các nhà kinh tế nước ngoài, kể cả Việt kiều.  Thật ra, hợp tác bổ tương giữa các nhà kinh toán học Việt Nam trong và ngoài nước là một chính sách cần được khuyến khích và nới rộng. …

————————————————–

Tài liệu Tham khảo

Akerlof, G.A. (1970), “The market for ‘lemons’: Quality uncertainty and the market mechanism”, Quarterly Journal of Economics 84(3): 488–500.

Allingham, M.G. & A. Sandmo (1972), “Income tax evasion: A theoretical analysis”, Journal of Public Economics 1: 323–38.

Arrow, K. & G. Debreu (1954), “Existence of an equilibrium for a competitive economy”, Econometrica 22(3). 265–90.

Bank of England (1999), Economic Models at the Bank of England, Bank of England, London.  Có thể xem được tại

<http://www.bankofengland.co.uk/publications/other/beqm/modcobook.htm>.

Baumol, W.J. & Benhabib, J. (1989), “Chaos: Significance, mechanism, and economic applications”, Journal of Economic Perspectives 3(1): 77–105.

Blackhouse, R.E. (1998), “If mathematics is informal, then perhaps we should accept that economics must be informat too”, Economic Journal 108(451): 1848–58.

Centre of Policy Studies (2006), The Centre of Policy Studies and the IMPACT Project, CoPS, Monash University, Melbourne.  Có thể xem được tại

<http://www.monash.edu.au/policy>.

Coase, R. (1937), “The nature of the fỉrm”, Economica 4(16): 386–405.

Cournot, A.A. (1838), Recherches sur les Principes Mathématiques de la Théorie des Richesses (Researches into the Mathematical Principles of the Theory of Wealth), bản dịch 1897 của N.T. Bacon, Macmillan, New York.

Dow, S.C. (1999), “The use of mathematics in economics”, Public Understanding of Mathematics Seminar, Birmingham, 21–2 May.

Edgeworth, F.Y. (1881), Mathematical Psychics: An Essay on the Application of Mathematics to the Moral Sciences, Kegan Paul, London.

Grubel, H.G. & L.A. Bolan (1986), “On the effective use of mathematics in economics”, Kyklos 39: 419–42.

Hildenbrand, W. (1982), “The rôle of mathematics in economics” trong L.J. Cohan et al (chủ biên), Logic, Methodology and Philosophy of Science VI, North-Holland, Amsterdam, trang 63–76.

Keynes, J.M. (1936), The General Theory of Employment, Interest and Money, Macmillan, London.  Có thể xem được tại

<http://www.marxists.org/reference/subject/economics/keynes/general-theory/index.htm>

McKenzie, L. (1954), “On equilibrium in Graham’s model of world trade and other competitive systems”, Econometrica 22(2): 147–61.

Malthus, T. (1798), An Essay on the Principle of Population as It Affects the Future Improvement of Society, with Remarks on the Speculations of Mr. Godwin, M. Condorcet, and Other Writers, Johnson, London.  Có thể xem được tại

<http://www.ac.wwu.edu/~stephan/malthus/malthus.0.html>

Marshall, A. (1890), Principles of Economics, Macmillan, London.  Có thể xem được tại

<http://www.econlib.org/library/Marshall/marP.html>

Munir, Q. & S. Rashid (1994), “The overuse of mathematics in economics: Nobel resistance”, Eastern Economic Journal, 20(3); 251–65.

Rosser, J.B. (2007), “The rise and fall of catastrophe theory applications in economics: Was the baby thrown out with the bathwater?”, Journal of Economic Dynamics and Control, sắp ra.

Samuelson, P. (1947), Foundations of Economic Analysis, Harvard Univerity Press, Cambridge.

Schumpeter, J. (1954), History of Economic Analysis, Oxford University Press, New York.

Smith, A. (1776), An Inquiry into the Nature and Causes of the Wealth of Nations, 1947 edition, Dent, London.

Statistics Canada (2002), Microsimulation Models, Satistics Canada, Ottawa.  Có thể xem được tại <http://www.statcan.ca/english/spsd>.

Thom, R. (1969), “Topological models in biology”, Topology 8: 313–35.

Tran-Nam, B. & C.N. Truong (1994), “Knowledge-based growth with exogenous population evolution: A balanced growth analysis”, Economics Letters 45: 507–12.

Truong, C.N. & B. Tran-Nam (2006), “Perpetual growth in an aggregative model with endogenous knowledge accumulation”, Review of Economic Development, sắp ra.

Uzawa, H. (1065), “Optimum technical change in an aggregative model of economic growth”, International Economic Review 6(1): 18–31.

Von Neumann, J. & O. Morgenstern (1944), Theory of Games and Economic Behavior, Princeton University Press, New Jersey.

Walras, L. (1874), Élements D’économie Politique Pure (Elements of Pure Economics), bản dịch của 1954 W. Jaffé, Allen & Unwin, London.

———-&&———-

Một phản hồi

  1. […] Toán ứng dụng trong kinh tế […]

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: