Value at Risk & Expected Shortfall

Value at Risk là gì?
(Tác giả: nmdang – Nguồn: forum.vnfinance.net)
  1. Phần I: tại sao cần độ đo rủi ro? những hạn chế của độ dao động (volatility)?
  2. Phần II: VaR: định nghĩa, tính chất và những hạn chế.
  3. Phần III: Độ đo rủi ro khi tính đến yếu tố thời gian: drawdown, cumulated loss – Expected Shortfall

Những kiến thức mình trình bày ở đây có thể tìm thấy trong cuốn “Theory of Financial Risk and Derivative Pricing”, tác giả J. -P. Bouchaud và M. Potters.

Phần I: Tại sao cần đo lường rủi ro & Thước đo rủi ro volatility

Như chúng ta đều biết, thị trường thì luôn luôn phản ứng (đôi khi thái quá) với những tin tức về kinh tế, tài chính, chính trị. Một trong những vai trò của nó là cho phép các thành phần tham gia giao dịch những rủi ro của chính họ, đương nhiên với điều kiện có ít nhất một bên định giá được rủi ro đó.

Mặc dù rủi ro nói chung có thể định nghĩa cho nhiều nguồn, ví dụ liên quan hoạt động của con người. Tuy rủi ro từ nguồn này là rất rộng (và rất lớn) nhưng lượng dữ liệu lại quá nghèo nàn. Thị trường tài chính với hàng ngàn dữ liệu mỗi ngày thì thích hợp hơn cho việc đưa ra một độ đo rủi ro khách quan. Ở đây ta nhấn mạnh chữ khách quan vì một độ đo đưa ra phải được thừa nhận bởi tất cả các bên tham gia giao dịch.

Độ đo rủi ro quen thuộc nhất với chúng ta là độ dao động (volatility), có lẽ đã được dùng từ trước khi Markowitz đưa ra lý thuyết về portfolio optimization của mình vào năm 1952. Tuy vậy, cách mà nó được xác định: bằng độ lệch chuẩn của giá xung quanh giá trị trung bình, độ lệch càng lớn thì càng có khả năng xảy ra những giá trị rất xa (về cả hai phía) so với giá trung bình, khiến nó bị chỉ trích. Lý do dễ thấy nhất là vì nó không phân biệt giữa những trường hợp lãi rất lớn và lỗ rất nặng.

Mặc dù vậy, nó vẫn được thừa nhận một cách rộng rãi vì những lý do sau:

  • Thứ nhất: tính toán đơn giản và có thể áp dụng cho những trường hợp nhiều danh mục (multi-aset portfolios)
  • Thứ hai: được chứng minh một cách chính xác (thông qua Central Limit Theorem) rằng khi số lần quan sát (giá) lớn một cách tùy ý, thì phân bố của logarithmic return sẽ chỉ phụ thuộc vào giá trị trung bình và độ lệch chuẩn. Do đó, bất cứ độ đo rủi ro (hợp lý) nào cũng phụ thuộc vào độ lệch chuẩn.

Đến đây có thể đưa ra thêm những lý do để chỉ trích nó:

  • Xét về mặt toán học, khi phân bố của giá là phân bố Lévy thì độ lệch chuẩn là vô hạn, trong trường hợp này việc dùng độ lệch chuẩn làm độ đo rủi ro là vô nghĩa.
  • Thông thường chúng ta chỉ có hữu hạn số lần quan sát, bởi vậy CLT không được kiểm nghiệm trong trường hợp này.
  • Một vài tính chất của giá giao dịch khiến cho sự hội tụ cần thiết của CLT chậm hơn rất nhiều..
  • CLT không được kiểm nghiệm (hoặc sự tăng giảm trên giá không tuân theo phân bố chuẩn) nên phần đuôi của phân bố thường không được tính chính xác, dẫn đến việc rủi ro đến từ những giá trị tận cùng (rất lớn hoặc rất nhỏ).

Như chúng ta sẽ thấy trong phần tiếp theo, VaR ít nhất có hai ưu điểm so với volatility:

  • Thích hợp để hình dung được độ thất thoát lớn nhất (với một xác suất và trong một khoảng thời gian cho trước).
  • Có thể áp dụng cho ngay cả những phân bố có độ lệch chuẩn vô hạn (chẳng hạn như phân bố Lévy).

Phần II: Value at Risk

Như chúng ta đã biết trong phần trước, việc dùng độ dao động (volatility) trong việc đánh giá rủi ro thì liên quan trực tiếp đến việc phân bố của giá là phân bố chuẩn (Gaussian distribution). Khi mà phân bố của giá không phải là chuẩn, chẳng hạn như phân bố Lévy thì độ lệch chuẩn (lý thuyết) là vô hạn thì việc dùng độ lệch chuẩn là không còn thích hợp.

Bên cạnh đó, việc tồn tại những giá trị vô cùng lớn (hay vô cùng bé) trong dữ liệu thực tế khiến cho việc ước lượng độ lệch chuẩn kém chính xác một cách đáng kể. Dĩ nhiên chúng ta có thể loại bỏ những dữ liệu đó ra trước khi ước lượng, nhưng làm như vậy thì độ rủi ro mà chúng đưa ra sẽ không còn giá trị thực tế (phải áp dụng được trong tất cả mọi tình huống của thị trường).

Ưu thế lớn nhất của VaR (Value-at-Risk) chính là giải quyết hạn chế sau cùng của volatility, bản chất của VaR chính là để tính đến những tổn thất cực hạn (probability of extreme losses).

Định nghĩa: VaR(Tau,P) có thể được hình dung như một giá trị tổn thất sao cho: một thất thoát lớn hơn VaR(Tau,P) trong một khoảng thời gian Tau cho trước chỉ xảy ra với xác suất 1- P.

Tính chất:
Giá trị thường dùng trong thực tế là Tau = 10 ngày giao dịch (2 tuần) và P = 0.95, nghĩa là VaR 95% trong 2 tuần.

Nếu mối liên hệ giữa VaR và Tau là dễ hiểu: VaR tăng khi Tau tăng, thì điều này là không đúng với mối quan hệ VaR và Volatility.

Trong trường hợp giá tuân theo phân bố chuẩn, chúng ta có thể đưa ra công thức chính xác cho VaR, hơn nữa có thể thấy được mối quan hệ giữa VaR và Volatility: VaR tỉ lệ thuận với Volatility (bài tập).

Trong trường hợp tổng quát thì không có mối quan hệ hữu dụng nào giữa hai độ đo này. Trong nhiều trường hợp giảm độ đo này sẽ làm tăng độ đo kia. Những người yêu thích Volatility có thể đưa ra bđt Chebyshev cho phép chặn trên giá trị của VaR bởi một hàm của Volatility, nhưng điều này không cho phép biết được sự phụ thuộc của VaR vào Volatility, cũng như đưa ra một ước đoán về giá trị của VaR khi Tau đủ lớn.

Một cách chính xác hơn, phân bố triệt tiêu càng chậm thì độ tăng của VaR theo thời gian càng lớn. Với ba phân bố: Gaussian, Exponential và Power-law (power = 3) cùng độ lệch chuẩn, hàm VaR theo Tau sẽ tăng nhanh nhất với Power-law, sau đó đến Exponential và cuối cùng là Gaussian.

Điều này cũng đồng nghĩa với việc việc sử dụng phân bố sai sẽ dẫn đến việc có một giá trị VaR không chính xác và kéo theo nó là cả quá trình quản lý rủi ro.

Hạn chế:

  • Cách tính của VaR không tính đến chuyện thất thoát có thể tích lũy trong từng khoảng thời gia, dẫn đến tổng thất thoát thực tế có thể vượt qua giá trị của VaR.
  • Tương tự như vậy, cách tính này cũng bỏ qua việc tính đến thất thoát lớn nhất “trong” khoảng thời gian Tau. Nói cách khác, chỉ có giá tại thời điểm đầu và cuối của khoảng thời gian được tính đến, và không phải là giá lúc nhỏ nhất trong khoảng này.
  • Tuy VaR liên quan nhiều hơn Volatility trong việc đo rủi ro, VaR cho phép biết giá trị lớn nhất của tổn thât có thể gặp phải với một xác suất cho trước, nhưng không cho biết nếu thất thoát này xảy ra thì giá trị trung bình của tổn thất này là bao nhiêu.
  • Đứng trên quan điểm toán học, VaR là một độ đo không subadditive, nghĩa là VaR của một nhóm danh mục sản phẩm thì chưa chắc đã nhỏ hơn tổng của VaR từng danh mục riêng. Volatility thì thỏa mãn tính chất này.

Phần III: Expected Shortfall

Trong phần trước chúng ta đã biết một trong những hạn chế của VaR là việc chúng không đưa ra được ước lượng của tổn thất (lớn hơn VaR về giá trị tuyệt đối) khi xảy ra, đồng thời không subadditive. Expected Shortfall hay còn được biết đến dưới tên conditional value-at-risk (CVaR) được đưa ra để khắc phục hai hạn chế này.

Một cách không chính xác, CVaR là giá trị trung bình của tổn thất biết rằng tổn thất đó vượt qua VaR (về giá trị tuyệt đối).

Sự tỉ lệ thuận của CVaR đối với VaR là điều dễ hiểu, ví dụ như trong trường hợp power-law với tham số mũ mu trong khoảng [3,5] thì CVaR gấp VaR từ 1.25 đến 1.5 lần.

Trong một số trường hợp đặc biệt khác, ví dụ như khi phân bố là rời rạc hoặc không đồng/nghịch biến thì CVaR có thể rất khác so với VaR.

Giá trị tổn thất lớn nhất (worst low):

VaR cho chúng ta ước lượng được độ tổn thất vào thời điểm cuối của khoảng thời gian, bởi vậy sẽ là dễ hiểu nếu có những tổn thất trong khoảng thời gian xem xét và lớn hơn rất nhiều so với VaR. Câu hỏi đặt ra là, làm sao xác định được xác suất để mọi tổn thất xảy ra trong khoảng thời gian đó không vượt quá 1 giá trị cho trước?

Đối với những phân bố đối xứng thì câu trả lời gần đúng là 2(1-P), nghĩa là nếu chúng ta muốn tính đến những tổn thất trong khoảng thời gian xem xét và muốn xác suất để giá trị này không bị vượt quá là 1-P thì chỉ cần tính VaR ứng với (P+1)/2, VaR(Tau, (P+1)/2).

Tổn thất lũy tiến (cumulated losses) – Độ giảm tương đối (drawdown)

Chúng ta cũng quan tâm đến độ tổn thất lũy tiến: tổng của tổn thất của các khoảng thời gian liên tiếp (cumulated losses) hay độ chênh lệch giữa giá trị khởi đầu và thấp nhất trong 1 khoảng thời gian (drawdown).

Kết luận:

  • Những độ đo rủi ro như VaR, CVaR cho phép tính đến những tổn thất lớn nhưng hiếm xảy ra bằng cách tập trung vào phần đuôi của phân bố. Điều này là hợp lý vì những dao động ở cường độ rất lớn được coi là nguồn chính của sự rủi ro, trong khi những dao động nhỏ hơn chỉ ảnh hưởng đến phần trung tâm của phân bố có thể được coi là nhiễu, liên quan nhiều hơn đến những hoạt động giao dịch của thị trường và ít liên quan hơn đến việc xác định rủi ro.
  • Việc sử dụng những độ đo rủi ro này đứng từ góc độ lý thuyết thì không hề dễ, đặc biệt nếu muốn dùng lại những nền tảng lý thuyết có trước đó (ví dụ như utility function framework). Đây cũng là chủ đề nghiên cứu khá sôi nổi trong thời gian gần đây.
———–&&————

Phần III:

Expected Shortfall:

Trong phần trước chúng ta đã biết một trong những hạn chế của VaR là việc chúng không đưa ra được ước lượng của tổn thất (lớn hơn VaR về giá trị tuyệt đối) khi xảy ra, đồng thời không subadditive. Expected Shortfall hay còn được biết đến dưới tên conditional value-at-risk (CVaR) được đưa ra để khắc phục hai hạn chế này.

Một cách không chính xác, CVaR là giá trị trung bình của tổn thất biết rằng tổn thất đó vượt qua VaR (về giá trị tuyệt đối).

Sự tỉ lệ thuận của CVaR đối với VaR là điều dễ hiểu, ví dụ như trong trường hợp power-law với tham số mũ mu trong khoảng [3,5] thì CVaR gấp VaR từ 1.25 đến 1.5 lần.

Trong một số trường hợp đặc biệt khác, ví dụ như khi phân bố là rời rạc hoặc không đồng/nghịch biến thì CVaR có thể rất khác so với VaR.

Giá trị tổn thất lớn nhất (worst low):

VaR cho chúng ta ước lượng được độ tổn thất vào thời điểm cuối của khoảng thời gian, bởi vậy sẽ là dễ hiểu nếu có những tổn thất trong khoảng thời gian xem xét và lớn hơn rất nhiều so với VaR. Câu hỏi đặt ra là, làm sao xác định được xác suất để mọi tổn thất xảy ra trong khoảng thời gian đó không vượt quá 1 giá trị cho trước?

Đối với những phân bố đối xứng thì câu trả lời gần đúng là 2(1-P), nghĩa là nếu chúng ta muốn tính đến những tổn thất trong khoảng thời gian xem xét và muốn xác suất để giá trị này không bị vượt quá là 1-P thì chỉ cần tính VaR ứng với (P+1)/2, VaR(Tau, (P+1)/2).

Tổn thất lũy tiến (cumulated losses) – Độ giảm tương đối (drawdown)

Chúng ta cũng quan tâm đến độ tổn thất lũy tiến: tổng của tổn thất của các khoảng thời gian liên tiếp (cumulated losses) hay độ chênh lệch giữa giá trị khởi đầu và thấp nhất trong 1 khoảng thời gian (drawdown).

Kết luận:

  • Những độ đo rủi ro như VaR, CVaR cho phép tính đến những tổn thất lớn nhưng hiếm xảy ra bằng cách tập trung vào phần đuôi của phân bố. Điều này là hợp lý vì những dao động ở cường độ rất lớn được coi là nguồn chính của sự rủi ro, trong khi những dao động nhỏ hơn chỉ ảnh hưởng đến phần trung tâm của phân bố có thể được coi là nhiễu, liên quan nhiều hơn đến những hoạt động giao dịch của thị trường và ít liên quan hơn đến việc xác định rủi ro.
  • Việc sử dụng những độ đo rủi ro này đứng từ góc độ lý thuyết thì không hề dễ, đặc biệt nếu muốn dùng lại những nền tảng lý thuyết có trước đó (ví dụ như utility function framework). Đây cũng là chủ đề nghiên cứu khá sôi nổi trong thời gian gần đây. Xin hẹn trở lại chủ đề này trong một bài khác.

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Đăng xuất / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: